Das Zentrum finden: Mittelwert, Median und Modalwert
Mittelwert, Median und Modalwert sind Maße der zentralen Tendenz – verschiedene Möglichkeiten, den „mittleren“ oder „typischen“ Wert in einem Datensatz zu beschreiben. Der Mittelwert ist der arithmetische Durchschnitt, der Median ist der mittlere Wert, wenn die Daten sortiert sind, und der Modalwert ist der häufigste Wert. Die Wahl des richtigen Maßes hängt von der Verteilung der Daten und der gestellten Frage ab.
Bestandteile von Mittelwert, Median und Modalwert
Dieser Abschnitt behandelt jedes Maß und wann es verwendet werden sollte:
- Mittelwert (Durchschnitt): Addieren Sie alle Werte und dividieren Sie durch die Anzahl. Am besten geeignet für symmetrische Daten ohne extreme Ausreißer.
- Median: Der mittlere Wert in einer sortierten Liste. Am besten geeignet für schiefe Daten, da er weniger anfällig für den Einfluss von Ausreißern ist.
- Modalwert: Der Wert, der am häufigsten vorkommt. Nützlich für kategoriale Daten oder zur Identifizierung des häufigsten Ergebnisses.
- Vergleich der drei Maße: Verständnis dafür, wann jedes Maß am besten geeignet ist und wie Ausreißer sie unterschiedlich beeinflussen.
Beispiele für Mittelwert, Median und Modalwert
Beispiele für den Mittelwert
- Testergebnisse: 85, 90, 78, 92, 85. Mittelwert = (85 + 90 + 78 + 92 + 85) / 5 = 430 / 5 = 86.
- Tägliche Temperaturen: 72, 75, 68, 70, 80. Mittelwert = 365 / 5 = 73 °F.
- Ein Schüler erzielt in fünf Tests 88, 92, 76, 95 und 84 Punkte. Der Mittelwert ist (88 + 92 + 76 + 95 + 84) / 5 = 435 / 5 = 87.
Beispiele für den Median
- Daten: 3, 7, 9, 12, 15. Der mittlere Wert ist 9 (der dritte von fünf Zahlen), daher ist der Median 9.
- Daten: 4, 8, 11, 14. Bei einer geraden Anzahl wird der Durchschnitt der beiden mittleren Werte gebildet: (8 + 11) / 2 = 9,5.
- Hauspreise: 150.000 $, 180.000 $, 200.000 $, 210.000 $, 950.000 $. Der Median beträgt 200.000 $ – ein besseres Maß für ein typisches Haus als der Mittelwert von 338.000 $ (der durch den Ausreißer nach oben gezogen wird).
Beispiele für den Modalwert
- Verkaufte Schuhgrößen: 8, 9, 10, 9, 11, 9, 10. Der Modalwert ist 9, da er dreimal vorkommt.
- Umfrageergebnisse: rot, blau, blau, grün, rot, blau. Der Modalwert ist blau (die häufigste Antwort).
- Testergebnisse: 70, 80, 85, 90, 95. Es gibt keinen Modalwert, da jeder Wert genau einmal vorkommt.
Vergleich der drei Beispiele
- Daten: 2, 3, 3, 4, 100. Mittelwert = 22,4 (durch den Ausreißer beeinflusst), Median = 3, Modalwert = 3. Der Median und der Modalwert repräsentieren den typischen Wert besser.
- Daten: 5, 5, 5, 5, 5. Mittelwert = 5, Median = 5, Modalwert = 5. Wenn alle Werte gleich sind, stimmen alle drei Maße überein.
- Gehälter in einem kleinen Unternehmen: 40.000 $, 45.000 $, 50.000 $, 55.000 $, 300.000 $. Der Mittelwert beträgt 98.000 $, aber der Median von 50.000 $ repräsentiert das Gehalt eines typischen Mitarbeiters besser.