Daten verständlich machen: Statistische Berechnungen
Statistische Berechnungen wandeln Rohdaten in aussagekräftige Zusammenfassungen, Visualisierungen und Vorhersagen um. Von der Organisation von Daten in Häufigkeitstabellen und Boxplots bis zur Berechnung von Perzentilen und Z-Werten helfen diese Techniken den Schülern, Muster zu beschreiben, Datensätze zu vergleichen und Schlussfolgerungen zu ziehen – Fähigkeiten, die in den Bereichen Wissenschaft, Wirtschaft, Sportanalytik und im täglichen Entscheidungsprozess eingesetzt werden.
Bestandteile statistischer Berechnungen
Dieser Abschnitt behandelt wichtige statistische Werkzeuge und Techniken:
- Häufigkeitstabellen und Histogramme: Daten werden in Gruppen (Intervalle) organisiert, um zu zeigen, wie oft Werte innerhalb jedes Bereichs vorkommen.
- Boxplots (Zusammenfassung mit fünf Werten): Daten werden mit dem Minimum, Q1 (25. Perzentil), dem Median, Q3 (75. Perzentil) und dem Maximum zusammengefasst.
- Perzentile und Quartile: Perzentile teilen die Daten in 100 gleiche Teile; Quartile teilen sie in 4 Teile. Das 50. Perzentil ist der Median.
- Z-Werte: Messen, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt ist: z = (x - Mittelwert) / Standardabweichung.
Beispiele für statistische Berechnungen
Beispiele für Häufigkeitstabellen
- Testergebnisse: 72, 85, 91, 68, 77, 84, 95, 73, 88, 80. Gruppierung in Intervalle: 60-69 (1), 70-79 (3), 80-89 (4), 90-99 (2).
- Eine Umfrage über die Lernstunden pro Woche: 0-2 Stunden (5 Schüler), 3-5 Stunden (12 Schüler), 6-8 Stunden (8 Schüler), 9+ Stunden (3 Schüler).
- Das 30-malige Werfen eines Würfels und die Aufzeichnung der Ergebnisse in einer Häufigkeitstabelle hilft, die beobachteten Häufigkeiten mit der erwarteten Häufigkeit von 5 pro Seite zu vergleichen.
Beispiele für Boxplots
- Daten: 2, 5, 7, 8, 12, 14, 18, 20, 25. Minimum = 2, Q1 = 7, Median = 12, Q3 = 18, Maximum = 25.
- Die Testergebnisse von zwei Klassen werden als nebeneinander liegende Boxplots dargestellt. Die Box von Klasse A ist schmal (kleiner IQR, gleichmäßige Ergebnisse), während die Box von Klasse B breit ist (großer IQR, unterschiedliche Ergebnisse).
- Ein Boxplot zeigt Ausreißer – jeder Wert, der mehr als 1,5 × IQR unterhalb von Q1 oder oberhalb von Q3 liegt, wird als solcher gekennzeichnet. Wenn Q1 = 20 und Q3 = 40, dann ist IQR = 20, sodass jeder Wert unter -10 oder über 70 ein Ausreißer ist.
Beispiele für Perzentile
- Ein Schüler erzielt beim 85. Perzentil in einem standardisierten Test, was bedeutet, dass er besser abgeschnitten hat als 85 % der Testteilnehmer.
- In einem Datensatz mit 50 Werten, die in aufsteigender Reihenfolge sortiert sind, ist Q1 (25. Perzentil) ungefähr der 13. Wert und Q3 (75. Perzentil) ist ungefähr der 38. Wert.
- Ein Baby, das beim 60. Perzentil für das Gewicht liegt, ist schwerer als 60 % der Babys gleichen Alters.
Beispiele für Z-Werte
- Ein Test hat einen Mittelwert von 75 und eine Standardabweichung von 10. Ein Ergebnis von 90 hat einen Z-Wert von (90 - 75) / 10 = 1,5, was bedeutet, dass es 1,5 Standardabweichungen über dem Mittelwert liegt.
- Ein Ergebnis von 60 beim gleichen Test hat einen Z-Wert von (60 - 75) / 10 = -1,5, was bedeutet, dass es 1,5 Standardabweichungen unter dem Mittelwert liegt.
- Vergleichen Sie die Ergebnisse von zwei verschiedenen Tests: Schüler A erzielte 85 bei einem Test mit einem Mittelwert von 80 und einer Standardabweichung von 5 (Z = 1,0). Schüler B erzielte 92 bei einem Test mit einem Mittelwert von 85 und einer Standardabweichung von 10 (Z = 0,7). Schüler A hat relativ besser abgeschnitten, obwohl das Rohresultat niedriger war.