Was sind die Chancen: Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit misst, wie wahrscheinlich ein Ereignis eintritt, ausgedrückt als eine Zahl zwischen 0 (unmöglich) und 1 (sicher), oder äquivalent als Prozentsatz von 0 % bis 100 %. Von Wettervorhersagen und medizinischen Diagnosen bis hin zu Spielen und Versicherungen bietet die Wahrscheinlichkeit den mathematischen Rahmen für das Denken über Unsicherheit und das Treffen fundierter Entscheidungen.
Komponenten der Wahrscheinlichkeit
Dieser Abschnitt behandelt die grundlegenden Konzepte:
- Grundlegende Wahrscheinlichkeit: P(Ereignis) = Anzahl der günstigen Ergebnisse / Gesamtzahl der Ergebnisse. Eine faire Münze hat P(Kopf) = 1/2.
- Zusammengesetzte Ereignisse: Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Ereignisse gleichzeitig eintreten (UND) oder mindestens eines eintritt (ODER), unter Verwendung von Multiplikations- und Additionsregeln.
- Unabhängige vs. abhängige Ereignisse: Unabhängige Ereignisse beeinflussen nicht die Wahrscheinlichkeit des jeweils anderen; abhängige Ereignisse beeinflussen sie (die zweite Wahrscheinlichkeit ändert sich, nachdem das erste Ereignis eingetreten ist).
- Komplementäre Ereignisse: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis NICHT eintritt, ist 1 minus der Wahrscheinlichkeit, dass es eintritt: P(nicht A) = 1 - P(A).
Beispiele für Wahrscheinlichkeit
Beispiele für grundlegende Wahrscheinlichkeit
- Ein Standardwürfel hat 6 Seiten. P(Würfeln einer 4) = 1/6 ≈ 0,167 oder etwa 16,7 %.
- Eine Tüte enthält 3 rote und 7 blaue Murmeln. P(rot) = 3/10 = 0,3 oder 30 %.
- Ein Kartenspiel mit 52 Karten hat 4 Asse. P(Ziehen eines Asses) = 4/52 = 1/13 ≈ 7,7 %.
Beispiele für zusammengesetzte Ereignisse
- P(Würfeln einer 3 UND dann einer 5 bei zwei Würfelwürfen) = 1/6 × 1/6 = 1/36 ≈ 2,8 % (unabhängige Ereignisse, multiplizieren).
- P(Ziehen eines Herzs ODER eines Königs aus einem Kartenspiel) = 13/52 + 4/52 - 1/52 = 16/52 = 4/13 ≈ 30,8 % (subtrahieren Sie den Pik-König, der zweimal gezählt wurde).
- Ein Drehspiel hat 3 gleiche Abschnitte: rot, blau, grün. P(rot ODER blau) = 1/3 + 1/3 = 2/3 ≈ 66,7 %.
Beispiele für unabhängige vs. abhängige Ereignisse
- Zweimal eine Münze werfen: P(Kopf dann Kopf) = 1/2 × 1/2 = 1/4. Der erste Wurf beeinflusst den zweiten nicht (unabhängig).
- Zwei Karten ohne Zurücklegen ziehen: P(Ass dann Ass) = 4/52 × 3/51 = 12/2.652 = 1/221 ≈ 0,45 % (abhängig – es bleiben weniger Asse und Karten übrig).
- Eine Tüte enthält 5 rote und 5 blaue Murmeln. Wenn man zuerst rot zieht, ohne sie zurückzulegen, ändert sich P(rot beim zweiten Ziehen) von 5/10 auf 4/9 (abhängig).
Beispiele für komplementäre Ereignisse
- P(nicht Würfeln einer 6) = 1 - 1/6 = 5/6 ≈ 83,3 %.
- Wenn die Wahrscheinlichkeit für Regen morgen 0,35 beträgt, beträgt die Wahrscheinlichkeit für keinen Regen 1 - 0,35 = 0,65 oder 65 %.
- Ein Schüler hat eine Wahrscheinlichkeit von 92 %, eine Prüfung zu bestehen. Die Wahrscheinlichkeit, die Prüfung nicht zu bestehen, beträgt 1 - 0,92 = 0,08 oder 8 %.