Wie weit gestreut: Spannweite und Standardabweichung
Während Maßzahlen für den Mittelwert den typischen Wert beschreiben, beschreiben Maßzahlen für die Streuung, wie weit die Datenwerte von diesem Mittelwert entfernt sind. Die Spannweite liefert das einfachste Bild – die Differenz zwischen dem höchsten und dem niedrigsten Wert –, während die Standardabweichung die durchschnittliche Entfernung jedes Datenpunkts vom Mittelwert quantifiziert und so ein viel umfassenderes Verständnis der Variabilität ermöglicht.
Komponenten von Spannweite und Standardabweichung
Dieser Abschnitt behandelt die wichtigsten Maßzahlen für die Streuung:
- Spannweite: Die Differenz zwischen dem maximalen und dem minimalen Wert in einem Datensatz: Spannweite = max - min.
- Varianz: Der Durchschnitt der quadrierten Differenzen vom Mittelwert, der die Gesamtstreuung misst.
- Standardabweichung: Die Quadratwurzel der Varianz, die die Maßzahl in die ursprünglichen Einheiten der Daten zurückführt.
- Interpretation der Streuung: Eine kleine Standardabweichung bedeutet, dass die Daten um den Mittelwert gruppiert sind; eine große Standardabweichung bedeutet, dass die Daten weit gestreut sind.
Beispiele für Spannweite und Standardabweichung
Beispiele für die Spannweite
- Testergebnisse: 65, 72, 88, 91, 95. Spannweite = 95 - 65 = 30 Punkte.
- Tägliche Temperaturen: 58 °F, 62 °F, 65 °F, 70 °F, 72 °F. Spannweite = 72 - 58 = 14 °F.
- Zwei Klassen haben beide einen Durchschnitt von 80, aber Klasse A hat eine Spannweite von 10 (enge Gruppierung), während Klasse B eine Spannweite von 40 hat (weite Streuung).
Beispiele für die Varianz
- Daten: 4, 8, 6, 2, 10. Mittelwert = 6. Quadrierte Differenzen: (4-6)² + (8-6)² + (6-6)² + (2-6)² + (10-6)² = 4 + 4 + 0 + 16 + 16 = 40. Varianz = 40/5 = 8.
- Daten: 5, 5, 5, 5. Mittelwert = 5. Alle Differenzen sind 0, daher ist die Varianz = 0 (keine Streuung).
- Daten: 1, 10, 1, 10. Mittelwert = 5,5. Die Summe der quadrierten Differenzen beträgt 81, die Varianz = 81/4 = 20,25 (hohe Variabilität).
Beispiele für die Standardabweichung
- Aus dem ersten Beispiel für die Varianz (Varianz = 8): Standardabweichung = √8 ≈ 2,83.
- Testergebnisse: 80, 82, 78, 84, 76. Mittelwert = 80. Quadrierte Differenzen: 0 + 4 + 4 + 16 + 16 = 40. Varianz = 8. SD = √8 ≈ 2,83 Punkte.
- Körpergrößen in cm: 160, 165, 170, 175, 180. Mittelwert = 170. Quadrierte Differenzen: 100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250. Varianz = 50. SD = √50 ≈ 7,07 cm.
Beispiele für die Interpretation der Streuung
- Maschine A produziert Schrauben mit einem Mittelwert von 10 mm und einer Standardabweichung von 0,1 mm. Maschine B hat den gleichen Mittelwert, aber eine Standardabweichung von 0,5 mm. Maschine A ist konsistenter.
- Wenn die Prüfungsergebnisse einen Mittelwert von 75 und eine Standardabweichung von 10 haben, haben etwa 68 % der Schüler zwischen 65 und 85 Punkte erzielt (innerhalb einer Standardabweichung).
- Zwei Basketballspieler erzielen beide durchschnittlich 20 Punkte pro Spiel. Einer hat eine Standardabweichung von 2 (konsistent), der andere hat eine Standardabweichung von 8 (stark variable Leistung).