Berechnung aller Seiten und Winkel: Berechnungen für rechtwinklige Dreiecke
Die Berechnung für rechtwinklige Dreiecke kombiniert den Satz des Pythagoras mit trigonometrischen Verhältnissen, um alle unbekannten Seiten und Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks zu ermitteln, wenn nur wenige Messwerte gegeben sind. Dieser Prozess – das „Lösen“ eines Dreiecks genannt – wird in der Vermessung, Navigation, im Bauwesen und in allen Bereichen eingesetzt, in denen indirekte Messungen erforderlich sind.
Komponenten der Berechnung für rechtwinklige Dreiecke
Dieser Abschnitt behandelt die Strategien zur vollständigen Berechnung eines rechtwinkligen Dreiecks:
- Zwei Seiten gegeben: Verwenden Sie den Satz des Pythagoras, um die dritte Seite zu finden, und dann die inversen trigonometrischen Funktionen, um die Winkel zu finden.
- Eine Seite und ein spitzer Winkel gegeben: Verwenden Sie Sinus, Kosinus oder Tangens, um die anderen Seiten zu finden, und subtrahieren Sie von 90°, um den anderen spitzen Winkel zu finden.
- Spezielle rechtwinklige Dreiecke: Das 45-45-90-Dreieck (Seiten im Verhältnis 1:1:√2) und das 30-60-90-Dreieck (Seiten im Verhältnis 1:√3:2) haben exakte Werte.
- Anwendungen: Lösen von realen Problemen, die Höhen, Entfernungen, Steigungswinkel und Neigungswinkel beinhalten.
Beispiele für Berechnungen für rechtwinklige Dreiecke
Beispiele mit zwei gegebenen Seiten
- Die Katheten sind 5 und 12. Hypotenuse = √(25 + 144) = √169 = 13. Der kleinere Winkel = tan⁻¹(5/12) ≈ 22,6°, und der größere = 90 - 22,6 = 67,4°.
- Die Hypotenuse ist 17, eine Kathete ist 8. Andere Kathete = √(289 - 64) = √225 = 15. Der Winkel gegenüber der Seite 8 = sin⁻¹(8/17) ≈ 28,1°.
- Die Katheten sind 7 und 7. Hypotenuse = √(49 + 49) = √98 ≈ 9,90. Beide spitzen Winkel sind 45° (gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck).
Beispiele mit einer Seite und einem Winkel
- Winkel = 35°, Hypotenuse = 20. Anliegende Seite = 20 × cos(35°) ≈ 16,38. Gegenüberliegende Seite = 20 × sin(35°) ≈ 11,47. Der andere Winkel = 55°.
- Winkel = 50°, gegenüberliegende Seite = 10. Hypotenuse = 10 / sin(50°) ≈ 13,05. Anliegende Seite = 10 / tan(50°) ≈ 8,39. Der andere Winkel = 40°.
- Winkel = 60°, anliegende Seite = 6. Gegenüberliegende Seite = 6 × tan(60°) = 6√3 ≈ 10,39. Hypotenuse = 6 / cos(60°) = 12. Der andere Winkel = 30°.
Beispiele für spezielle rechtwinklige Dreiecke
- Ein 45-45-90-Dreieck mit Katheten von 8: Hypotenuse = 8√2 ≈ 11,31.
- Ein 30-60-90-Dreieck mit der kürzesten Seite 5: Die Seite gegenüber dem 60°-Winkel ist 5√3 ≈ 8,66, und die Hypotenuse ist 10.
- Ein Quadrat mit einer Diagonale von 14 cm: Jede Seite ist 14/√2 = 7√2 ≈ 9,90 cm (die Diagonale des Quadrats erzeugt zwei 45-45-90-Dreiecke).
Beispiele für Anwendungen
- Eine Person steht 30 Meter von einem Gebäude entfernt und blickt in einem Winkel von 55° nach oben. Die Gebäudehöhe über Augenhöhe beträgt 30 × tan(55°) ≈ 42,84 Meter.
- Ein Pilot in 5.000 Fuß Höhe entdeckt eine Landebahn in einem Neigungswinkel von 12°. Die Entfernung zur Landebahn beträgt 5.000 / tan(12°) ≈ 23.517 Fuß.
- Eine 20 Fuß lange Rampe muss 4 Fuß hoch sein. Der Steigungswinkel ist sin⁻¹(4/20) = sin⁻¹(0,2) ≈ 11,54°.