Seiten und Winkel: Berechnungen mit trigonometrischen Verhältnissen
Trigonometrische Verhältnisse – Sinus, Kosinus und Tangens – stellen eine Beziehung zwischen den Winkeln eines rechtwinkligen Dreiecks und den Verhältnissen seiner Seiten her. Diese Verhältnisse, die man sich mit der Eselsbrücke SOH CAH TOA merken kann, ermöglichen es, unbekannte Seiten oder Winkel in rechtwinkligen Dreiecken zu berechnen, was Anwendung in der Navigation, im Vermessungswesen, in der Architektur und in der Physik findet.
Bestandteile von Berechnungen mit trigonometrischen Verhältnissen
Dieser Abschnitt behandelt die drei wichtigsten Verhältnisse und ihre Inversen:
- Sinus (sin): sin(θ) = Gegenkathete / Hypotenuse – das Verhältnis der Seite, die dem Winkel gegenüberliegt, zur längsten Seite.
- Kosinus (cos): cos(θ) = Ankathete / Hypotenuse – das Verhältnis der Seite, die an den Winkel angrenzt, zur längsten Seite.
- Tangens (tan): tan(θ) = Gegenkathete / Ankathete – das Verhältnis der Gegenkathete zur Ankathete.
- Inverse trigonometrische Funktionen: Verwenden Sie sin⁻¹, cos⁻¹ oder tan⁻¹, um einen Winkel zu finden, wenn Sie das Verhältnis von zwei Seiten kennen.
Beispiele für Berechnungen mit trigonometrischen Verhältnissen
Sinus-Beispiele
- In einem rechtwinkligen Dreieck mit einem Winkel von 30° ist die Gegenkathete 5 und die Hypotenuse 10. Überprüfung: sin(30°) = 5/10 = 0,5 ✓.
- Berechnen Sie die Gegenkathete, wenn die Hypotenuse 20 und der Winkel 45° beträgt: Gegenkathete = 20 × sin(45°) = 20 × 0,7071 ≈ 14,14.
- Eine Drachenleine ist 50 Meter lang und bildet einen Winkel von 60° zum Boden. Die Höhe des Drachens beträgt 50 × sin(60°) = 50 × 0,866 ≈ 43,3 Meter.
Kosinus-Beispiele
- In einem rechtwinkligen Dreieck mit einem Winkel von 60° ist die Ankathete 4 und die Hypotenuse 8. Überprüfung: cos(60°) = 4/8 = 0,5 ✓.
- Berechnen Sie die Ankathete, wenn die Hypotenuse 15 und der Winkel 30° beträgt: Ankathete = 15 × cos(30°) = 15 × 0,866 ≈ 12,99.
- Eine Rampe ist 12 Fuß lang und hat eine Steigung von 20°. Die horizontale Entfernung, die sie überwindet, beträgt 12 × cos(20°) ≈ 12 × 0,9397 ≈ 11,28 Fuß.
Tangens-Beispiele
- In einem rechtwinkligen Dreieck mit einem Winkel von 45° sind sowohl die Gegenkathete als auch die Ankathete 7. Überprüfung: tan(45°) = 7/7 = 1 ✓.
- Berechnen Sie die Gegenkathete, wenn die Ankathete 9 und der Winkel 53° beträgt: Gegenkathete = 9 × tan(53°) ≈ 9 × 1,3270 ≈ 11,94.
- Ein Baum wirft einen 15 Meter langen Schatten, wenn die Sonne einen Höhenwinkel von 40° hat. Die Höhe des Baumes beträgt 15 × tan(40°) ≈ 15 × 0,8391 ≈ 12,59 Meter.
Inverse trigonometrische Beispiele
- Ein rechtwinkliges Dreieck hat eine Gegenkathete von 3 und eine Hypotenuse von 5. Der Winkel ist sin⁻¹(3/5) = sin⁻¹(0,6) ≈ 36,87°.
- Ein rechtwinkliges Dreieck hat eine Ankathete von 8 und eine Hypotenuse von 10. Der Winkel ist cos⁻¹(8/10) = cos⁻¹(0,8) ≈ 36,87°.
- Eine Leiter reicht 6 Fuß an einer Wand hoch, und ihre Basis ist 4 Fuß von der Wand entfernt. Der Winkel ist tan⁻¹(6/4) = tan⁻¹(1,5) ≈ 56,31°.