Gleichungen, die immer gelten: Trigonometrische Identitäten
Trigonometrische Identitäten sind Gleichungen, die trigonometrische Funktionen beinhalten und für alle gültigen Eingabewerte, nicht nur für bestimmte Winkel, wahr sind. Sie ermöglichen es, komplexe trigonometrische Ausdrücke zu vereinfachen, trigonometrische Gleichungen zu lösen und mathematische Beziehungen zu beweisen. Das Beherrschen von Identitäten ist für fortgeschrittene Trigonometrie, Analysis und Physik unerlässlich.
Bestandteile trigonometrischer Identitäten
Dieser Abschnitt behandelt die wichtigsten Identitätsfamilien:
- Pythagoräische Identitäten: sin²(θ) + cos²(θ) = 1, zusammen mit den abgeleiteten Formen 1 + tan²(θ) = sec²(θ) und 1 + cot²(θ) = csc²(θ).
- Reziproke Identitäten: csc(θ) = 1/sin(θ), sec(θ) = 1/cos(θ) und cot(θ) = 1/tan(θ).
- Quotienten-Identitäten: tan(θ) = sin(θ)/cos(θ) und cot(θ) = cos(θ)/sin(θ).
- Kofunktions-Identitäten: sin(90° - θ) = cos(θ), cos(90° - θ) = sin(θ) und tan(90° - θ) = cot(θ).
Beispiele für trigonometrische Identitäten
Beispiele für pythagoräische Identitäten
- Wenn sin(θ) = 3/5, finde cos(θ): Unter Verwendung von sin²(θ) + cos²(θ) = 1 erhalten wir 9/25 + cos²(θ) = 1, also cos²(θ) = 16/25 und cos(θ) = 4/5 (im ersten Quadranten).
- Vereinfache sin²(θ) + cos²(θ) + tan²(θ): Ersetze sin² + cos² durch 1, um 1 + tan²(θ) = sec²(θ) zu erhalten.
- Überprüfe für θ = 30°: sin²(30°) + cos²(30°) = (1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4 = 1 ✓.
Beispiele für reziproke Identitäten
- Wenn sin(θ) = 0,6, dann csc(θ) = 1/0,6 ≈ 1,667.
- Wenn cos(θ) = √2/2, dann sec(θ) = 1/(√2/2) = 2/√2 = √2.
- Wenn tan(θ) = 3/4, dann cot(θ) = 4/3.
Beispiele für Quotienten-Identitäten
- Wenn sin(θ) = 5/13 und cos(θ) = 12/13, dann tan(θ) = sin(θ)/cos(θ) = (5/13)/(12/13) = 5/12.
- Vereinfache sin(θ)/cos(θ) × cos(θ): Dies entspricht sin(θ), da sich die cos(θ)-Terme aufheben.
- Überprüfe für θ = 45°: tan(45°) = sin(45°)/cos(45°) = (√2/2)/(√2/2) = 1 ✓.
Beispiele für Kofunktions-Identitäten
- sin(30°) = cos(60°) = 1/2. Der Sinus eines Winkels ist gleich dem Kosinus seines Komplementwinkels.
- cos(25°) = sin(65°). Da 25° + 65° = 90°, handelt es sich hierbei um Kofunktionen.
- Wenn tan(θ) = 2,5, dann ist auch cot(90° - θ) = 2,5, da Tangens und Cotangens Kofunktionen sind.