Potenzen und Wurzeln: Potenzen und Quadratwurzeln
Potenzen bieten eine Kurzschreibweise für wiederholte Multiplikation – anstatt 5 × 5 × 5 × 5 schreibt man 5⁴ –, während Quadratwurzeln den Prozess umkehren, indem sie die Frage stellen: „Welche Zahl, mit sich selbst multipliziert, ergibt diesen Wert?“ Zusammen bilden sie die Grundlage für wissenschaftliche Notation, Flächen- und Volumenberechnungen sowie die algebraischen Gleichungen, denen die Schüler als Nächstes begegnen werden.
Bestandteile von Potenzen und Quadratwurzeln
Dieser Abschnitt behandelt die wichtigsten Konzepte:
- Verständnis von Potenzen: Die Basis ist die Zahl, die multipliziert wird, und der Exponent gibt an, wie oft sie mit sich selbst multipliziert werden soll.
- Potenzregeln: Produktregel (aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ), Potenzregel ((aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ) und Null-Exponent (a⁰ = 1).
- Quadratwurzeln: Die Quadratwurzel einer Zahl n ist der Wert, der, mit sich selbst multipliziert, n ergibt, geschrieben als √n.
- Perfekte Quadrate und Schätzung: Erkennen von perfekten Quadraten (1, 4, 9, 16, 25, ...) und Schätzen von nicht-perfekten Quadratwurzeln.
Beispiele für Potenzen und Quadratwurzeln
Beispiele zum Verständnis von Potenzen
- Berechne 2⁵: Multipliziere 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32.
- Berechne 10³: Multipliziere 10 × 10 × 10 = 1.000 – jede Potenz von 10 fügt eine Null hinzu.
- Eine Bakterienkolonie verdoppelt sich jede Stunde. Nach 6 Stunden beträgt die Anzahl 2⁶ = 64-mal die ursprüngliche Anzahl.
Beispiele für Potenzregeln
- Vereinfache 3² × 3⁴: Gleiche Basis, also addiere die Exponenten: 3²⁺⁴ = 3⁶ = 729.
- Vereinfache (2³)²: Multipliziere die Exponenten: 2³ˣ² = 2⁶ = 64.
- Berechne 7⁰: Jede von Null verschiedene Zahl, die mit dem Null-Exponenten potenziert wird, ergibt 1, also 7⁰ = 1.
Beispiele für Quadratwurzeln
- √49 = 7, weil 7 × 7 = 49.
- √144 = 12, weil 12 × 12 = 144.
- Ein quadratischer Garten hat eine Fläche von 81 Quadratfuß. Jede Seite ist √81 = 9 Fuß lang.
Beispiele für perfekte Quadrate und Schätzung
- Die ersten zehn perfekten Quadrate sind 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 und 100.
- Schätze √50: Da 7² = 49 und 8² = 64, ist √50 etwas größer als 7 – ungefähr 7,07.
- Schätze √20: Da 4² = 16 und 5² = 25, liegt √20 zwischen 4 und 5 – ungefähr 4,47.