Vergleich von Größen: Verhältnisse, Raten und Proportionen
Verhältnisse, Raten und Proportionen beschreiben, wie zwei Größen zueinander in Beziehung stehen – sei es beim Vergleich von Zutaten in einem Rezept, bei der Berechnung der Geschwindigkeit oder beim Anpassen einer Karte an reale Entfernungen. Diese Konzepte verbinden Arithmetik und Algebra, indem sie die Idee einführen, dass Beziehungen zwischen Zahlen als Gleichungen ausgedrückt, vereinfacht und gelöst werden können.
Bestandteile von Verhältnissen, Raten und Proportionen
Dieser Abschnitt erläutert die drei verwandten Konzepte:
- Verhältnisse: Ein Vergleich von zwei Größen, ausgedrückt als a:b, a/b oder „a zu b“, der die relative Größe ohne Einheiten angibt.
- Raten: Ein spezielles Verhältnis, das zwei Größen mit unterschiedlichen Einheiten vergleicht, z. B. Meilen pro Stunde oder Dollar pro Pfund.
- Einheitsraten: Eine Rate, die so vereinfacht wurde, dass die zweite Größe 1 ist, was den Vergleich erleichtert (z. B. 3,50 $ pro Gallone).
- Proportionen: Eine Gleichung, die besagt, dass zwei Verhältnisse gleich sind, und die durch Kreuzmultiplikation gelöst wird, um einen unbekannten Wert zu finden.
Beispiele für Verhältnisse, Raten und Proportionen
Beispiele für Verhältnisse
- In einer Klasse gibt es 12 Jungen und 18 Mädchen. Das Verhältnis von Jungen zu Mädchen ist 12:18, was sich zu 2:3 vereinfacht.
- In einem Rezept werden 3 Tassen Mehl auf 2 Tassen Zucker verwendet, was ein Verhältnis von Mehl zu Zucker von 3:2 ergibt.
- In einer Tüte befinden sich 5 rote Murmeln und insgesamt 20 Murmeln. Das Verhältnis von roten zu allen Murmeln ist 5:20, was sich zu 1:4 vereinfacht.
Beispiele für Raten und Einheitsraten
- Ein Auto fährt in 3 Stunden 180 Meilen. Die Rate beträgt 180 Meilen / 3 Stunden = 60 Meilen pro Stunde.
- Eine 12er-Packung Saft kostet 6,00 $. Die Einheitsrate beträgt 6,00 $ ÷ 12 = 0,50 $ pro Flasche.
- Eine Fabrik produziert in 5 Stunden 250 Teile, was einer Rate von 250 ÷ 5 = 50 Teilen pro Stunde entspricht.
Beispiele für Proportionen
- Wenn 2/3 = x/12, dann Kreuzmultiplikation: 2 × 12 = 3 × x, also 24 = 3x, und x = 8.
- Auf einer Karte steht, dass 1 Zoll = 25 Meilen. Zwei Städte sind 3,5 Zoll voneinander entfernt, also beträgt die tatsächliche Entfernung 3,5 × 25 = 87,5 Meilen.
- Ein Rezept reicht für 4 Personen mit 6 Tassen Reis. Um 10 Personen zu bekochen, stellt man die Gleichung 6/4 = x/10 auf, Kreuzmultiplikation ergibt 60 = 4x, also x = 15 Tassen.