Comment mesurer la dispersion : étendue et écart type
Si les mesures de tendance centrale décrivent la valeur typique, les mesures de dispersion décrivent à quel point les valeurs des données s’éloignent de cette tendance centrale. L’étendue donne l’image la plus simple : l’écart entre les valeurs les plus élevées et les plus faibles ; l’écart type quantifie la distance moyenne de chaque point de données par rapport à la moyenne, ce qui permet de mieux comprendre la variabilité.
Composantes de l’étendue et de l’écart type
Cette section traite des principales mesures de dispersion :
- Étendue : la différence entre les valeurs maximale et minimale d’un ensemble de données : étendue = max - min.
- Variance : la moyenne des différences au carré par rapport à la moyenne, qui mesure la dispersion globale.
- Écart type : la racine carrée de la variance, qui ramène la mesure aux unités d’origine des données.
- Interprétation de la dispersion : un faible écart type signifie que les données sont regroupées près de la moyenne ; un écart type élevé signifie que les données sont largement dispersées.
Exemples d’étendue et d’écart type
Exemples d’étendue
- Résultats d’un test : 65, 72, 88, 91, 95. Étendue = 95 - 65 = 30 points.
- Températures quotidiennes : 58 °F, 62 °F, 65 °F, 70 °F, 72 °F. Étendue = 72 - 58 = 14 °F.
- Deux classes ont toutes les deux une moyenne de 80, mais la classe A a une étendue de 10 (regroupement étroit), tandis que la classe B a une étendue de 40 (dispersion importante).
Exemples de variance
- Données : 4, 8, 6, 2, 10. Moyenne = 6. Différences au carré : (4-6)² + (8-6)² + (6-6)² + (2-6)² + (10-6)² = 4 + 4 + 0 + 16 + 16 = 40. Variance = 40/5 = 8.
- Données : 5, 5, 5, 5. Moyenne = 5. Toutes les différences sont de 0, donc la variance = 0 (aucune dispersion).
- Données : 1, 10, 1, 10. Moyenne = 5,5. La somme des différences au carré est de 81, la variance = 81/4 = 20,25 (variabilité élevée).
Exemples d’écart type
- À partir du premier exemple de variance (variance = 8) : écart type = √8 ≈ 2,83.
- Résultats d’un test : 80, 82, 78, 84, 76. Moyenne = 80. Différences au carré : 0 + 4 + 4 + 16 + 16 = 40. Variance = 8. Écart type = √8 ≈ 2,83 points.
- Tailles en cm : 160, 165, 170, 175, 180. Moyenne = 170. Différences au carré : 100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250. Variance = 50. Écart type = √50 ≈ 7,07 cm.
Exemples d’interprétation de la dispersion
- La machine A produit des boulons avec une moyenne de 10 mm et un écart type de 0,1 mm. La machine B a la même moyenne, mais un écart type de 0,5 mm. La machine A est plus constante.
- Si les résultats d’un examen ont une moyenne de 75 et un écart type de 10, environ 68 % des élèves ont obtenu un score compris entre 65 et 85 (dans une plage d’un écart type).
- Deux joueurs de basket-ball ont une moyenne de 20 points par match. L’un a un écart type de 2 (constance), l’autre a un écart type de 8 (variabilité élevée).