Resolvendo Todos os Lados e Ângulos: Cálculo de Triângulos Retângulos
O cálculo de triângulos retângulos combina o teorema de Pitágoras com razões trigonométricas para encontrar todos os lados e ângulos desconhecidos de um triângulo retângulo, quando apenas algumas medidas são fornecidas. Este processo — chamado de "resolução" de um triângulo — é usado em topografia, navegação, construção e em qualquer área onde a medição indireta seja necessária.
Componentes do Cálculo de Triângulos Retângulos
Esta seção aborda as estratégias para resolver completamente um triângulo retângulo:
- Dados Dois Lados: Use o teorema de Pitágoras para encontrar o terceiro lado e, em seguida, use a função trigonométrica inversa para encontrar os ângulos.
- Dado Um Lado e Um Ângulo Agudo: Use seno, cosseno ou tangente para encontrar os outros lados e subtraia de 90° para encontrar o outro ângulo agudo.
- Triângulos Retângulos Especiais: O triângulo 45-45-90 (lados na razão 1:1:√2) e o triângulo 30-60-90 (lados na razão 1:√3:2) têm valores exatos.
- Aplicações: Resolvendo problemas do mundo real que envolvem alturas, distâncias, ângulos de elevação e ângulos de depressão.
Exemplos de Cálculo de Triângulos Retângulos
Exemplos com Dois Lados Dados
- Os catetos são 5 e 12. Hipotenusa = √(25 + 144) = √169 = 13. O ângulo menor = tan⁻¹(5/12) ≈ 22,6° e o maior = 90 - 22,6 = 67,4°.
- A hipotenusa é 17, um dos catetos é 8. O outro cateto = √(289 - 64) = √225 = 15. O ângulo oposto ao lado de 8 = sin⁻¹(8/17) ≈ 28,1°.
- Os catetos são 7 e 7. Hipotenusa = √(49 + 49) = √98 ≈ 9,90. Ambos os ângulos agudos são 45° (triângulo retângulo isósceles).
Exemplos com Um Lado e Um Ângulo Dados
- Ângulo = 35°, hipotenusa = 20. Lado adjacente = 20 × cos(35°) ≈ 16,38. Lado oposto = 20 × sin(35°) ≈ 11,47. O outro ângulo = 55°.
- Ângulo = 50°, lado oposto = 10. Hipotenusa = 10 / sin(50°) ≈ 13,05. Lado adjacente = 10 / tan(50°) ≈ 8,39. O outro ângulo = 40°.
- Ângulo = 60°, lado adjacente = 6. Lado oposto = 6 × tan(60°) = 6√3 ≈ 10,39. Hipotenusa = 6 / cos(60°) = 12. O outro ângulo = 30°.
Exemplos de Triângulos Retângulos Especiais
- Um triângulo 45-45-90 com catetos de 8: Hipotenusa = 8√2 ≈ 11,31.
- Um triângulo 30-60-90 com o lado mais curto de 5: O lado oposto a 60° é 5√3 ≈ 8,66 e a hipotenusa é 10.
- Um quadrado com diagonal de 14 cm: Cada lado é 14/√2 = 7√2 ≈ 9,90 cm (a diagonal do quadrado cria dois triângulos 45-45-90).
Exemplos de Aplicações
- Uma pessoa está a 30 metros de um edifício e olha para cima em um ângulo de 55°. A altura do edifício acima do nível dos olhos é 30 × tan(55°) ≈ 42,84 metros.
- Um piloto a 5.000 pés de altitude avista uma pista em um ângulo de depressão de 12°. A distância em linha reta até a pista é 5.000 / tan(12°) ≈ 23.517 pés.
- Uma rampa de 20 pés deve subir 4 pés. O ângulo de inclinação é sin⁻¹(4/20) = sin⁻¹(0,2) ≈ 11,54°.