Lados e Ângulos: Cálculos de Razões Trigonométricas
As razões trigonométricas — seno, cosseno e tangente — relacionam os ângulos de um triângulo retângulo com as razões de seus lados. Memorizadas pelo mnemônico SOH CAH TOA, essas razões permitem calcular lados ou ângulos desconhecidos em triângulos retângulos, com aplicações em navegação, topografia, arquitetura e física.
Componentes dos Cálculos de Razões Trigonométricas
Esta seção aborda as três razões primárias e seus inversos:
- Seno (sin): sin(θ) = cateto oposto / hipotenusa — a razão do lado oposto ao ângulo para o lado mais longo.
- Cosseno (cos): cos(θ) = cateto adjacente / hipotenusa — a razão do lado adjacente ao ângulo para o lado mais longo.
- Tangente (tan): tan(θ) = cateto oposto / cateto adjacente — a razão do cateto oposto para o cateto adjacente.
- Funções Trigonométricas Inversas: Use sin⁻¹, cos⁻¹ ou tan⁻¹ para encontrar um ângulo quando você conhece a razão de dois lados.
Exemplos de Cálculos de Razões Trigonométricas
Exemplos de Seno
- Em um triângulo retângulo com ângulo de 30°, o cateto oposto é 5 e a hipotenusa é 10. Verificação: sin(30°) = 5/10 = 0,5 ✓.
- Encontre o cateto oposto quando a hipotenusa é 20 e o ângulo é 45°: cateto oposto = 20 × sin(45°) = 20 × 0,7071 ≈ 14,14.
- Uma linha de pipa tem 50 metros de comprimento e forma um ângulo de 60° com o solo. A altura da pipa é 50 × sin(60°) = 50 × 0,866 ≈ 43,3 metros.
Exemplos de Cosseno
- Em um triângulo retângulo com ângulo de 60°, o cateto adjacente é 4 e a hipotenusa é 8. Verificação: cos(60°) = 4/8 = 0,5 ✓.
- Encontre o cateto adjacente quando a hipotenusa é 15 e o ângulo é 30°: cateto adjacente = 15 × cos(30°) = 15 × 0,866 ≈ 12,99.
- Uma rampa tem 12 pés de comprimento e uma inclinação de 20°. A distância horizontal que ela cobre é 12 × cos(20°) ≈ 12 × 0,9397 ≈ 11,28 pés.
Exemplos de Tangente
- Em um triângulo retângulo com ângulo de 45°, os catetos oposto e adjacente são ambos 7. Verificação: tan(45°) = 7/7 = 1 ✓.
- Encontre o cateto oposto quando o cateto adjacente é 9 e o ângulo é 53°: cateto oposto = 9 × tan(53°) ≈ 9 × 1,3270 ≈ 11,94.
- Uma árvore projeta uma sombra de 15 metros quando o sol está a 40° de elevação. A altura da árvore é 15 × tan(40°) ≈ 15 × 0,8391 ≈ 12,59 metros.
Exemplos de Funções Trigonométricas Inversas
- Um triângulo retângulo tem cateto oposto = 3 e hipotenusa = 5. O ângulo é sin⁻¹(3/5) = sin⁻¹(0,6) ≈ 36,87°.
- Um triângulo retângulo tem cateto adjacente = 8 e hipotenusa = 10. O ângulo é cos⁻¹(8/10) = cos⁻¹(0,8) ≈ 36,87°.
- Uma escada atinge 6 pés de altura em uma parede e sua base está a 4 pés da parede. O ângulo é tan⁻¹(6/4) = tan⁻¹(1,5) ≈ 56,31°.