Equações que são Sempre Válidas: Identidades Trigonométricas
As identidades trigonométricas são equações que envolvem funções trigonométricas e que são verdadeiras para todos os valores de entrada válidos, e não apenas para ângulos específicos. Elas permitem simplificar expressões trigonométricas complexas, resolver equações trigonométricas e provar relações matemáticas. Dominar as identidades é essencial para trigonometria avançada, cálculo e física.
Componentes das Identidades Trigonométricas
Esta seção aborda as famílias de identidades mais importantes:
- Identidades Pitagóricas: sin²(θ) + cos²(θ) = 1, juntamente com as formas derivadas 1 + tan²(θ) = sec²(θ) e 1 + cot²(θ) = csc²(θ).
- Identidades Recíprocas: csc(θ) = 1/sin(θ), sec(θ) = 1/cos(θ) e cot(θ) = 1/tan(θ).
- Identidades de Quociente: tan(θ) = sin(θ)/cos(θ) e cot(θ) = cos(θ)/sin(θ).
- Identidades de Cofunção: sin(90° - θ) = cos(θ), cos(90° - θ) = sin(θ) e tan(90° - θ) = cot(θ).
Exemplos de Identidades Trigonométricas
Exemplos de Identidades Pitagóricas
- Se sin(θ) = 3/5, encontre cos(θ): Usando sin²(θ) + cos²(θ) = 1, obtemos 9/25 + cos²(θ) = 1, então cos²(θ) = 16/25 e cos(θ) = 4/5 (no primeiro quadrante).
- Simplifique sin²(θ) + cos²(θ) + tan²(θ): Substitua sin² + cos² por 1 para obter 1 + tan²(θ) = sec²(θ).
- Verifique para θ = 30°: sin²(30°) + cos²(30°) = (1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4 = 1 ✓.
Exemplos de Identidades Recíprocas
- Se sin(θ) = 0,6, então csc(θ) = 1/0,6 ≈ 1,667.
- Se cos(θ) = √2/2, então sec(θ) = 1/(√2/2) = 2/√2 = √2.
- Se tan(θ) = 3/4, então cot(θ) = 4/3.
Exemplos de Identidades de Quociente
- Se sin(θ) = 5/13 e cos(θ) = 12/13, então tan(θ) = sin(θ)/cos(θ) = (5/13)/(12/13) = 5/12.
- Simplifique sin(θ)/cos(θ) × cos(θ): Isso é igual a sin(θ) porque os termos cos(θ) se cancelam.
- Verifique para θ = 45°: tan(45°) = sin(45°)/cos(45°) = (√2/2)/(√2/2) = 1 ✓.
Exemplos de Identidades de Cofunção
- sin(30°) = cos(60°) = 1/2. O seno de um ângulo é igual ao cosseno do seu complemento.
- cos(25°) = sin(65°). Como 25° + 65° = 90°, estes são cofunções.
- Se tan(θ) = 2,5, então cot(90° - θ) = 2,5 também, porque tangente e cotangente são cofunções.