如何衡量数据的离散程度：范围与标准差
虽然中心趋势的度量描述了典型值，但离散程度的度量描述了数据值与该中心趋势的距离。范围提供了最简单的描述——最高值和最低值之间的差距；而标准差则量化了每个数据点与平均值的平均距离，从而更全面地了解数据的变异性。
范围与标准差的组成部分
本节涵盖了衡量离散程度的关键指标：
- 范围：数据集中最大值和最小值之间的差：范围 = 最大值 - 最小值。
- 方差：与平均值的平方差的平均值，用于衡量整体离散程度。
- 标准差：方差的平方根，将度量恢复到数据的原始单位。
- 解释离散程度：较小的标准差意味着数据集中于平均值附近；较大的标准差意味着数据分散较广。
范围与标准差的示例
范围示例
- 考试分数：65、72、88、91、95。范围 = 95 - 65 = 30 分。
- 每日温度：58°F、62°F、65°F、70°F、72°F。范围 = 72 - 58 = 14°F。
- 两组学生的平均分都是 80 分，但 A 组的范围是 10（数据集中），而 B 组的范围是 40（数据分散）。
方差示例
- 数据：4、8、6、2、10。平均值 = 6。平方差：(4-6)² + (8-6)² + (6-6)² + (2-6)² + (10-6)² = 4 + 4 + 0 + 16 + 16 = 40。方差 = 40/5 = 8。
- 数据：5、5、5、5。平均值 = 5。所有差值均为 0，因此方差 = 0（完全没有离散）。
- 数据：1、10、1、10。平均值 = 5.5。平方差之和为 81，方差 = 81/4 = 20.25（变异性高）。
标准差示例
- 从第一个方差示例（方差 = 8）得出：标准差 = √8 ≈ 2.83。
- 考试分数：80、82、78、84、76。平均值 = 80。平方差：0 + 4 + 4 + 16 + 16 = 40。方差 = 8。标准差 = √8 ≈ 2.83 分。
- 身高（厘米）：160、165、170、175、180。平均值 = 170。平方差：100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250。方差 = 50。标准差 = √50 ≈ 7.07 厘米。
解释离散程度的示例
- 机器 A 生产的螺栓平均长度为 10 毫米，标准差为 0.1 毫米。机器 B 的平均长度相同，但标准差为 0.5 毫米。机器 A 的一致性更高。
- 如果考试分数平均分为 75 分，标准差为 10 分，那么大约 68% 的学生的分数在 65 到 85 分之间（在一个标准差范围内）。
- 两名篮球运动员的平均得分均为每场比赛 20 分。其中一名的标准差为 2（表现一致），另一名的标准差为 8（表现差异很大）。