Bausteine der Algebra: Algebraische Ausdrücke
Algebraische Ausdrücke verwenden Variablen, Konstanten und Operationen, um mathematische Beziehungen in einer allgemeinen Form darzustellen. Die Fähigkeit, diese Ausdrücke zu schreiben, zu vereinfachen, zu faktorisieren und auszuwerten, ist die Grundlage für das Lösen von Gleichungen, das Zeichnen von Funktionsgraphen und die Modellierung realer Situationen in der gesamten Algebra und darüber hinaus.
Bestandteile algebraischer Ausdrücke
Dieser Abschnitt behandelt die grundlegenden Fähigkeiten für die Arbeit mit algebraischen Ausdrücken:
- Terme, Koeffizienten und Konstanten: Ein Term ist ein Produkt aus Zahlen und Variablen (z. B. 3x²); der Koeffizient ist der Zahlenanteil (3); eine Konstante hat keine Variable (z. B. 7).
- Gleichartige Terme zusammenfassen: Addieren oder Subtrahieren von Termen, die dieselbe Variable und denselben Exponenten haben, um einen Ausdruck zu vereinfachen.
- Distributivgesetz: Multiplizieren eines Faktors mit einer Summe oder Differenz innerhalb von Klammern: a(b + c) = ab + ac.
- Gemeinsame Faktoren ausklammern: Umkehren der Distributivmethode, indem der größte gemeinsame Faktor aus allen Termen herausgezogen wird.
Beispiele für algebraische Ausdrücke
Beispiele für Terme, Koeffizienten und Konstanten
- In dem Ausdruck 5x² - 3x + 7 sind die Terme 5x², -3x und 7. Die Koeffizienten sind 5 und -3, und 7 ist die Konstante.
- In 4ab + 2a - 9 ist der Koeffizient von ab 4, der Koeffizient von a ist 2, und -9 ist der konstante Term.
- Identifizieren Sie die Teile von -2y³ + y - 1: Der Koeffizient von y³ ist -2, der Koeffizient von y ist 1 (implizit), und -1 ist die Konstante.
Beispiele für das Zusammenfassen gleichartiger Terme
- Vereinfachen Sie 4x + 7 - 2x + 3: Fassen Sie gleichartige Terme zusammen, um (4x - 2x) + (7 + 3) = 2x + 10 zu erhalten.
- Vereinfachen Sie 3a² + 5a - a² + 2a: Fassen Sie zusammen, um (3a² - a²) + (5a + 2a) = 2a² + 7a zu erhalten.
- Vereinfachen Sie 6y - 4 + 2y + 9 - y: Fassen Sie zusammen, um (6y + 2y - y) + (-4 + 9) = 7y + 5 zu erhalten.
Beispiele für das Distributivgesetz
- Entwickeln Sie 3(x + 4): Multiplizieren Sie, um 3x + 12 zu erhalten.
- Entwickeln Sie -2(5a - 3): Multiplizieren Sie, um -10a + 6 zu erhalten.
- Entwickeln Sie 4(2x² - x + 5): Multiplizieren Sie jeden Term, um 8x² - 4x + 20 zu erhalten.
Beispiele für das Ausklammern gemeinsamer Faktoren
- Faktorisieren Sie 6x + 18: Der ggT ist 6, also faktorisieren Sie zu 6(x + 3).
- Faktorisieren Sie 10a² - 15a: Der ggT ist 5a, also faktorisieren Sie zu 5a(2a - 3).
- Faktorisieren Sie 12y³ + 8y² - 4y: Der ggT ist 4y, also faktorisieren Sie zu 4y(3y² + 2y - 1).