Lösungen für Geraden: Lineare Gleichungen
Lineare Gleichungen sind Gleichungen, bei denen der höchste Exponent der Variablen 1 ist, was bei grafischer Darstellung eine Gerade ergibt. Das Lösen dieser Gleichungen bedeutet, den Wert der Variablen zu finden, der beide Seiten gleich macht, wobei inverse Operationen verwendet werden, um die Variable schrittweise zu isolieren. Lineare Gleichungen modellieren unzählige reale Beziehungen – Entfernung über die Zeit, Kosten im Verhältnis zur Menge und Temperaturumrechnungen.
Bestandteile linearer Gleichungen
Dieser Abschnitt behandelt die wichtigsten Techniken zum Lösen linearer Gleichungen:
- Mehrstufige Gleichungen: Gleichungen, die mehrere inverse Operationen erfordern, wobei in umgekehrter Reihenfolge der Operationen vorgegangen wird, um die Variable zu isolieren.
- Variablen auf beiden Seiten: Variablen werden durch Addition oder Subtraktion auf beiden Seiten auf eine Seite und Konstanten auf die andere Seite verschoben.
- Gleichungen mit Brüchen und Dezimalzahlen: Brüche werden beseitigt, indem beide Seiten mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner (KGN) multipliziert werden, oder Dezimalzahlen werden beseitigt, indem mit einer Zehnerpotenz multipliziert wird.
- Steigungs-Achsenabschnittsform: Lineare Gleichungen werden in der Form y = mx + b geschrieben, wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist.
Beispiele für lineare Gleichungen
Beispiele für mehrstufige Gleichungen
- Lösen Sie 4x - 7 = 13: Addieren Sie 7 zu beiden Seiten, um 4x = 20 zu erhalten, dann dividieren Sie durch 4, um x = 5 zu erhalten.
- Lösen Sie 3(x + 2) = 21: Multiplizieren Sie aus, um 3x + 6 = 21 zu erhalten, subtrahieren Sie 6, um 3x = 15 zu erhalten, dividieren Sie durch 3, um x = 5 zu erhalten.
- Lösen Sie -2x + 9 = 1: Subtrahieren Sie 9, um -2x = -8 zu erhalten, dividieren Sie durch -2, um x = 4 zu erhalten.
Beispiele für Variablen auf beiden Seiten
- Lösen Sie 5x + 3 = 2x + 18: Subtrahieren Sie 2x von beiden Seiten, um 3x + 3 = 18 zu erhalten, subtrahieren Sie 3, um 3x = 15 zu erhalten, dividieren Sie durch 3, um x = 5 zu erhalten.
- Lösen Sie 7n - 4 = 3n + 12: Subtrahieren Sie 3n, um 4n - 4 = 12 zu erhalten, addieren Sie 4, um 4n = 16 zu erhalten, dividieren Sie durch 4, um n = 4 zu erhalten.
- Lösen Sie 2(y + 5) = y + 16: Multiplizieren Sie aus, um 2y + 10 = y + 16 zu erhalten, subtrahieren Sie y, um y + 10 = 16 zu erhalten, subtrahieren Sie 10, um y = 6 zu erhalten.
Beispiele für Gleichungen mit Brüchen
- Lösen Sie x/3 + 2 = 5: Subtrahieren Sie 2, um x/3 = 3 zu erhalten, multiplizieren Sie mit 3, um x = 9 zu erhalten.
- Lösen Sie 2x/5 - 1 = 3: Addieren Sie 1, um 2x/5 = 4 zu erhalten, multiplizieren Sie mit 5, um 2x = 20 zu erhalten, dividieren Sie durch 2, um x = 10 zu erhalten.
- Lösen Sie 0.3x + 1.5 = 4.5: Multiplizieren Sie alles mit 10, um Dezimalzahlen zu beseitigen: 3x + 15 = 45, subtrahieren Sie 15, um 3x = 30 zu erhalten, also x = 10.
Beispiele für die Steigungs-Achsenabschnittsform
- Eine Gerade mit der Steigung 2 und dem y-Achsenabschnitt -3 hat die Gleichung y = 2x - 3. Wenn x = 4, dann y = 2(4) - 3 = 5.
- Finden Sie die Gleichung einer Geraden, die durch (0, 5) verläuft und die Steigung -1 hat: Da b = 5 und m = -1, ist die Gleichung y = -x + 5.
- Ein Handyvertrag kostet 25 $ pro Monat plus 0,10 $ pro SMS. Die Gleichung lautet y = 0,10x + 25, wobei x die Anzahl der SMS und y die Gesamtkosten sind.