Mehrere Unbekannte: Gleichungssysteme
Ein Gleichungssystem ist eine Menge von zwei oder mehr Gleichungen mit denselben Variablen. Das Lösen des Systems bedeutet, Werte zu finden, die alle Gleichungen gleichzeitig erfüllen. Gleichungssysteme treten immer dann auf, wenn zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein müssen – beispielsweise beim Vergleichen von Handyverträgen, beim Ermitteln des Schnittpunkts zweier Wege oder beim Ausgleichen chemischer Reaktionen.
Komponenten von Gleichungssystemen
Dieser Abschnitt behandelt die wichtigsten Methoden zum Lösen von Gleichungssystemen:
- Grafische Methode: Stellen Sie beide Gleichungen in derselben Koordinatenebene grafisch dar; der Schnittpunkt ist die Lösung.
- Substitutionsmethode: Lösen Sie eine Gleichung nach einer Variablen auf und setzen Sie diesen Ausdruck dann in die andere Gleichung ein.
- Eliminationsmethode: Addieren oder subtrahieren Sie Gleichungen (gegebenenfalls nach vorheriger Multiplikation), um eine Variable zu eliminieren, und lösen Sie dann nach der anderen Variablen auf.
- Arten von Lösungen: Ein System hat eine Lösung (sich schneidende Geraden), keine Lösung (parallele Geraden) oder unendlich viele Lösungen (dieselbe Gerade).
Beispiele für Gleichungssysteme
Beispiele für die grafische Methode
- Lösen Sie y = x + 1 und y = -x + 5: Stellen Sie beide Geraden grafisch dar. Sie schneiden sich bei (2, 3), also ist x = 2 und y = 3.
- Lösen Sie y = 2x und y = x + 3: Die Geraden schneiden sich dort, wo 2x = x + 3, was x = 3 und y = 6 ergibt. Der Schnittpunkt ist (3, 6).
- Zwei Freunde starten an verschiedenen Positionen und gehen aufeinander zu. Ihre Wege, die als lineare Gleichungen modelliert werden, schneiden sich an dem Punkt, an dem sie sich treffen.
Beispiele für die Substitutionsmethode
- Lösen Sie y = 3x und 2x + y = 10: Setzen Sie 3x für y ein: 2x + 3x = 10, also 5x = 10 und x = 2. Dann ist y = 3(2) = 6.
- Lösen Sie x = y - 4 und 3x + 2y = 17: Setzen Sie (y - 4) für x ein: 3(y - 4) + 2y = 17, also 3y - 12 + 2y = 17, 5y = 29, y = 29/5. Dann ist x = 29/5 - 4 = 9/5.
- Lösen Sie y = 2x + 1 und 4x - y = 5: Setzen Sie ein: 4x - (2x + 1) = 5, also 2x - 1 = 5, 2x = 6, x = 3. Dann ist y = 2(3) + 1 = 7.
Beispiele für die Eliminationsmethode
- Lösen Sie 2x + y = 7 und 3x - y = 8: Addieren Sie die Gleichungen, um y zu eliminieren: 5x = 15, also x = 3. Dann ist 2(3) + y = 7, y = 1.
- Lösen Sie x + 2y = 10 und 3x + 2y = 18: Subtrahieren Sie die erste Gleichung von der zweiten: 2x = 8, also x = 4. Dann ist 4 + 2y = 10, 2y = 6, y = 3.
- Lösen Sie 2x + 3y = 12 und 4x - 3y = 6: Addieren Sie die Gleichungen, um y zu eliminieren: 6x = 18, x = 3. Dann ist 2(3) + 3y = 12, 3y = 6, y = 2.
Beispiele für die Arten von Lösungen
- y = 2x + 1 und y = 2x - 3 sind parallel (gleiche Steigung, unterschiedliche y-Achsenabschnitte), also gibt es keine Lösung.
- y = 3x + 2 und 6x - 2y = -4 sind dieselbe Gerade (ordnen Sie die zweite Gleichung um: y = 3x + 2), also gibt es unendlich viele Lösungen.
- y = x + 4 und y = -x + 2 haben unterschiedliche Steigungen, also schneiden sie sich in genau einem Punkt: (−1, 3).