Ausdrücke mit Potenzen: Polynome
Polynome sind algebraische Ausdrücke, die aus Termen mit ganzzahligen Exponenten bestehen – von einfachen Binomen wie x + 3 bis hin zu komplexen Ausdrücken wie 4x³ - 2x² + 7x - 5. Das Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Faktorisieren von Polynomen sind wesentliche Fähigkeiten, um Gleichungen höheren Grades zu lösen, Kurven zu modellieren und sich auf die Infinitesimalrechnung vorzubereiten.
Bestandteile von Polynomen
Dieser Abschnitt behandelt die wichtigsten Operationen und die zugehörige Terminologie:
- Klassifizierung von Polynomen: Nach Anzahl der Terme (Monom, Binom, Trinomial) und nach Grad (der höchste vorhandene Exponent).
- Addieren und Subtrahieren von Polynomen: Kombinieren Sie gleiche Terme und achten Sie darauf, dass Exponenten und Variablen übereinstimmen.
- Multiplizieren von Polynomen: Verwenden Sie die Distributivgesetze (FOIL für Binome), um jeden Term mit jedem Term im anderen Polynom zu multiplizieren.
- Faktorisieren von Polynomen: Kehren Sie die Multiplikation um, um ein Polynom als Produkt einfacherer Faktoren darzustellen.
Beispiele für Polynome
Beispiele für die Klassifizierung
- 5x² ist ein Monom (ein Term) vom Grad 2.
- 3x + 7 ist ein Binom (zwei Terme) vom Grad 1.
- 2x³ - x² + 4x - 9 ist ein Polynom mit vier Termen und Grad 3.
Beispiele für Addition und Subtraktion
- Addieren: (3x² + 2x - 5) + (x² - 4x + 3): Kombinieren Sie gleiche Terme, um 4x² - 2x - 2 zu erhalten.
- Subtrahieren: (5x² + x - 7) - (2x² - 3x + 1): Verteilen Sie das negative Vorzeichen und kombinieren Sie: 3x² + 4x - 8.
- Addieren: (4a³ - 2a) + (a³ + 5a - 3): Kombinieren Sie gleiche Terme, um 5a³ + 3a - 3 zu erhalten.
Beispiele für Multiplikation
- Multiplizieren: (x + 3)(x + 5) mit FOIL: x² + 5x + 3x + 15 = x² + 8x + 15.
- Multiplizieren: (2x - 1)(x + 4): 2x² + 8x - x - 4 = 2x² + 7x - 4.
- Multiplizieren: (x + 2)(x² - 3x + 1): Verteilen Sie jeden Term: x³ - 3x² + x + 2x² - 6x + 2 = x³ - x² - 5x + 2.
Beispiele für Faktorisierung
- Faktorisieren: x² + 5x + 6: Finden Sie zwei Zahlen, die multipliziert 6 ergeben und addiert 5 – das sind 2 und 3, was (x + 2)(x + 3) ergibt.
- Faktorisieren: x² - 9: Dies ist eine Differenz von Quadraten, daher lässt es sich als (x + 3)(x - 3) faktorisieren.
- Faktorisieren: 2x² + 7x + 3: Finden Sie Faktoren von 2 × 3 = 6, die addiert 7 ergeben – das sind 6 und 1. Schreiben Sie um als 2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (2x + 1)(x + 3).