Von Eingabe zu Ausgabe: Funktionen
Eine Funktion ist eine Regel, die jeder Eingabe genau eine Ausgabe zuordnet – dargestellt als f(x), wobei x die Eingabe und f(x) die Ausgabe ist. Funktionen sind die Sprache der Mathematik, um zu beschreiben, wie eine Größe von einer anderen abhängt, von einfachen Beziehungen wie der Verdopplung einer Zahl bis hin zu komplexen Modellen in Wissenschaft, Technik und Wirtschaft.
Bestandteile von Funktionen
Dieser Abschnitt behandelt die grundlegenden Konzepte von Funktionen:
- Funktionsschreibweise: Verwendung von f(x), um eine Funktion zu benennen und sie auszuwerten, indem ein Wert für x eingesetzt wird.
- Definitionsbereich und Wertebereich: Der Definitionsbereich ist die Menge aller gültigen Eingaben; der Wertebereich ist die Menge aller möglichen Ausgaben.
- Lineare vs. nichtlineare Funktionen: Lineare Funktionen erzeugen geradlinige Graphen (konstante Änderungsrate); nichtlineare Funktionen erzeugen Kurven.
- Funktionsoperationen: Kombination von Funktionen durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Komposition (f(g(x))).
Beispiele für Funktionen
Beispiele für Funktionsschreibweise
- Wenn f(x) = 2x + 3, finde f(4): Setze 4 für x ein, um 2(4) + 3 = 11 zu erhalten.
- Wenn g(x) = x² - 1, finde g(-3): Setze -3 ein, um (-3)² - 1 = 9 - 1 = 8 zu erhalten.
- Wenn h(x) = 5x, dann ist h(0) = 0, h(1) = 5 und h(2) = 10 – jede Eingabe erzeugt genau eine Ausgabe.
Beispiele für Definitions- und Wertebereich
- Für f(x) = x + 4 ist der Definitionsbereich alle reellen Zahlen und der Wertebereich alle reellen Zahlen.
- Für f(x) = √x ist der Definitionsbereich x ≥ 0 (keine Quadratwurzel aus negativen Zahlen) und der Wertebereich f(x) ≥ 0.
- Für f(x) = 1/x ist der Definitionsbereich alle reellen Zahlen außer x = 0 (Division durch Null ist undefiniert).
Beispiele für lineare vs. nichtlineare Funktionen
- f(x) = 3x - 2 ist linear: jede Erhöhung von x um 1 erhöht f(x) um 3. Der Graph ist eine Gerade mit einer Steigung von 3.
- f(x) = x² ist nichtlinear: die Änderungsrate nimmt mit zunehmendem x zu. Der Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel.
- Ein Auto, das mit konstanter Geschwindigkeit von 60 mph fährt, folgt einer linearen Funktion d(t) = 60t, während ein unter der Schwerkraft fallender Ball einer nichtlinearen Funktion folgt.
Beispiele für Funktionsoperationen
- Wenn f(x) = x + 1 und g(x) = 2x, dann ist (f + g)(x) = x + 1 + 2x = 3x + 1.
- Wenn f(x) = x² und g(x) = x + 3, dann ist f(g(x)) = f(x + 3) = (x + 3)² = x² + 6x + 9.
- Wenn f(x) = 4x und g(x) = x/2, dann ist f(g(x)) = 4(x/2) = 2x und g(f(x)) = 4x/2 = 2x – diese Funktionen sind Umkehrfunktionen, da beide Kompositionen x ergeben, wenn sie mit dem richtigen Paar weiter vereinfacht werden.