Kurven und Lösungen: Quadratische Gleichungen
Quadratische Gleichungen haben die Form ax² + bx + c = 0, wobei der höchste Exponent der Variablen 2 ist. Ihre Lösungen – auch Wurzeln genannt – geben an, wo eine Parabel die x-Achse schneidet. Quadratische Gleichungen modellieren Wurfbewegungen, Flächenoptimierungen, Gewinnberechnungen und viele andere Situationen, in denen die Beziehungen nicht einfach linear sind.
Bestandteile quadratischer Gleichungen
Dieser Abschnitt behandelt die wichtigsten Methoden zum Lösen quadratischer Gleichungen:
- Faktorisierungsmethode: Schreibe die quadratische Gleichung als Produkt von zwei Binomen und setze jeden Faktor gleich Null.
- Quadratische Formel: Verwende x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, um Lösungen für jede quadratische Gleichung zu finden.
- Quadratische Ergänzung: Schreibe die Gleichung so um, dass die linke Seite ein vollständiges quadratisches Trinomial bildet, und ziehe dann die Quadratwurzel aus beiden Seiten.
- Die Diskriminante: Der Wert b² - 4ac bestimmt die Anzahl und Art der Lösungen – positiv bedeutet zwei reelle Wurzeln, Null bedeutet eine, negativ bedeutet keine (reellen).
Beispiele für quadratische Gleichungen
Beispiele für die Faktorisierungsmethode
- Löse x² + 7x + 12 = 0: Faktorisiere als (x + 3)(x + 4) = 0, also x = -3 oder x = -4.
- Löse x² - 5x = 0: Faktorisiere als x(x - 5) = 0, also x = 0 oder x = 5.
- Löse 2x² - 8x + 6 = 0: Teile durch 2, um x² - 4x + 3 = 0 zu erhalten, faktorisiere als (x - 1)(x - 3) = 0, also x = 1 oder x = 3.
Beispiele für die quadratische Formel
- Löse x² + 2x - 8 = 0: a = 1, b = 2, c = -8. Berechne b² - 4ac = 4 + 32 = 36. Dann x = (-2 ± 6) / 2, was x = 2 oder x = -4 ergibt.
- Löse 3x² - x - 2 = 0: a = 3, b = -1, c = -2. Berechne b² - 4ac = 1 + 24 = 25. Dann x = (1 ± 5) / 6, was x = 1 oder x = -2/3 ergibt.
- Ein Ball wird nach oben geworfen, wobei die Höhe h = -16t² + 48t beträgt. Er trifft den Boden, wenn h = 0: -16t² + 48t = 0, also t(-16t + 48) = 0, was t = 0 oder t = 3 Sekunden ergibt.
Beispiele für die quadratische Ergänzung
- Löse x² + 6x = 7: Die Hälfte von 6 ist 3, und 3² = 9. Addiere 9 zu beiden Seiten: x² + 6x + 9 = 16, also (x + 3)² = 16, x + 3 = ±4, was x = 1 oder x = -7 ergibt.
- Löse x² - 4x = 5: Die Hälfte von -4 ist -2, und (-2)² = 4. Addiere 4: x² - 4x + 4 = 9, also (x - 2)² = 9, x - 2 = ±3, was x = 5 oder x = -1 ergibt.
- Löse x² + 8x + 10 = 0: Verschiebe 10: x² + 8x = -10. Addiere 16: (x + 4)² = 6, also x = -4 ± √6.
Beispiele für die Diskriminante
- Für x² + 3x + 5 = 0: b² - 4ac = 9 - 20 = -11 (negativ), also gibt es keine reellen Lösungen.
- Für x² - 6x + 9 = 0: b² - 4ac = 36 - 36 = 0, also gibt es genau eine doppelte Wurzel: x = 3.
- Für x² + x - 6 = 0: b² - 4ac = 1 + 24 = 25 (positiv), also gibt es zwei verschiedene reelle Wurzeln.