Muster in Zahlen: Zahlentheorie
Die Zahlentheorie untersucht die Eigenschaften und Beziehungen von ganzen Zahlen, einschließlich Faktoren, Vielfachen, Primzahlen und Teilbarkeitsregeln. Diese grundlegenden Konzepte helfen den Schülern, Muster in der Mathematik zu erkennen, Brüche zu vereinfachen, gemeinsame Nenner zu finden und das logische Denken zu entwickeln, das für die Algebra und darüber hinaus erforderlich ist.
Bestandteile der Zahlentheorie
Dieser Abschnitt erläutert die wichtigsten Konzepte der Zahlentheorie:
- Faktoren und Vielfache: Faktoren sind Zahlen, die eine andere Zahl ohne Rest teilen; Vielfache sind die Produkte einer Zahl.
- Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen: Primzahlen haben genau zwei Faktoren (1 und sich selbst); zusammengesetzte Zahlen haben mehr als zwei.
- Teilbarkeitsregeln: Abkürzungen, um zu bestimmen, ob eine Zahl durch 2, 3, 5, 9, 10 und andere gebräuchliche Teiler teilbar ist.
- Größter gemeinsamer Faktor (ggT) und kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV): Der ggT ist der größte gemeinsame Faktor; das kgV ist das kleinste gemeinsame Vielfache.
Beispiele für Zahlentheorie
Beispiele für Faktoren und Vielfache
- Faktoren von 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12 – alle Zahlen, die 12 ohne Rest teilen.
- Die ersten fünf Vielfachen von 7: 7, 14, 21, 28, 35 – erhalten durch Multiplikation von 7 × 1, 7 × 2, 7 × 3 usw.
- Ein Lehrer ordnet 24 Stühle in gleich große Reihen an. Die möglichen Reihengrößen sind die Faktoren von 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 oder 24.
Beispiele für Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen
- Die Zahl 17 ist eine Primzahl, da ihre einzigen Faktoren 1 und 17 sind.
- Die Zahl 18 ist eine zusammengesetzte Zahl, da sie die Faktoren 1, 2, 3, 6, 9 und 18 hat.
- Um zu prüfen, ob 29 eine Primzahl ist, wird die Teilbarkeit durch 2, 3 und 5 (Primzahlen bis zu √29 ≈ 5,4) getestet. Keine dieser Zahlen teilt 29 ohne Rest, daher ist 29 eine Primzahl.
Beispiele für Teilbarkeitsregeln
- 84 ist teilbar durch 2 (endet auf 4), durch 3 (8 + 4 = 12, was durch 3 teilbar ist) und durch 4 (84 ÷ 4 = 21).
- 135 ist teilbar durch 5 (endet auf 5) und durch 9 (1 + 3 + 5 = 9, was durch 9 teilbar ist).
- Um schnell zu prüfen, ob 276 durch 3 teilbar ist: addieren Sie die Ziffern 2 + 7 + 6 = 15, und 15 ist durch 3 teilbar, also ja.
Beispiele für ggT und kgV
- Der ggT von 12 und 18: Die Faktoren von 12 sind 1, 2, 3, 4, 6, 12. Die Faktoren von 18 sind 1, 2, 3, 6, 9, 18. Der größte gemeinsame Faktor ist 6.
- Das kgV von 4 und 6: Die Vielfachen von 4 sind 4, 8, 12, 16... Die Vielfachen von 6 sind 6, 12, 18... Das kleinste gemeinsame Vielfache ist 12.
- Um 1/8 + 1/6 zu addieren, wird das kgV von 8 und 6 ermittelt, das 24 ist, und dann wird es wie folgt umgeschrieben: 3/24 + 4/24 = 7/24.