Ableitungen in der Praxis: Anwendungen von Ableitungen
Ableitungen sind nicht nur abstrakte Berechnungen – sie lösen reale Probleme. Das Finden von maximalen und minimalen Werten, die Bestimmung, wo eine Funktion steigt oder fällt, die Analyse der Form von Kurven und die Modellierung von Bewegungen werden alle durch Ableitungen ermöglicht. Diese Anwendungen finden sich in der Physik, der Wirtschaft, der Biologie und dem Ingenieurwesen.
Bestandteile von Anwendungen von Ableitungen
Dieser Abschnitt behandelt die wichtigsten Anwendungsbereiche:
- Extrema finden: Verwenden Sie die erste Ableitung, um kritische Punkte zu finden (wo f'(x) = 0 oder undefiniert ist), und klassifizieren Sie diese dann als lokale Maxima, lokale Minima oder weder das eine noch das andere.
- Steigende und fallende Intervalle: Eine Funktion steigt, wo f'(x) > 0, und fällt, wo f'(x) < 0.
- Optimierung: Erstellen Sie eine Funktion aus einem realen Szenario, berechnen Sie ihre Ableitung, setzen Sie f'(x) = 0 und lösen Sie, um den optimalen Wert zu finden.
- Zusammenhängende Änderungsraten: Wenn sich zwei oder mehr Größen im Laufe der Zeit ändern, verwenden Sie die implizite Differentiation und die Kettenregel, um zu bestimmen, wie ihre Änderungsraten zusammenhängen.
Beispiele für Anwendungen von Ableitungen
Beispiele zum Finden von Extrema
- Für f(x) = x² - 4x + 3 ergibt f'(x) = 2x - 4 = 0 den Wert x = 2. Da f''(2) = 2 > 0, ist x = 2 ein lokales Minimum mit f(2) = -1.
- Für f(x) = -x² + 6x ergibt f'(x) = -2x + 6 = 0 den Wert x = 3. Da f''(3) = -2 < 0, ist x = 3 ein lokales Maximum mit f(3) = 9.
- Für f(x) = x³ - 3x ergibt f'(x) = 3x² - 3 = 0 die Werte x = ±1. f(-1) = 2 ist ein lokales Maximum und f(1) = -2 ist ein lokales Minimum.
Beispiele für steigende und fallende Funktionen
- Für f(x) = x² - 2x ergibt f'(x) = 2x - 2. Das Setzen von f'(x) = 0 ergibt x = 1. Die Funktion fällt im Intervall (-∞, 1) und steigt im Intervall (1, ∞).
- Für f(x) = x³, f'(x) = 3x². Da 3x² ≥ 0 für alle x (und nur bei x = 0 gleich 0 ist), ist die Funktion überall steigend.
- Für f(x) = -x³ + 12x ergibt f'(x) = -3x² + 12 = 0 die Werte x = ±2. Die Funktion steigt im Intervall (-2, 2) und fällt außerhalb dieses Intervalls.
Beispiele für Optimierung
- Maximieren Sie die Fläche eines Rechtecks mit einem Umfang von 40 cm: Wenn die Breite = x, dann ist die Länge = 20 - x, die Fläche A = x(20 - x) = 20x - x². A'(x) = 20 - 2x = 0 ergibt x = 10. Die maximale Fläche beträgt 100 cm² (ein Quadrat).
- Ein Landwirt hat 200 Meter Zaun für eine rechteckige Koppel an einer Scheunenwand. Bei drei einzäunenden Seiten: A = x(200 - 2x), A'(x) = 200 - 4x = 0, x = 50 m. Die maximale Fläche beträgt 5.000 m².
- Finden Sie die minimale Summe einer positiven Zahl und ihres Kehrwerts: f(x) = x + 1/x, f'(x) = 1 - 1/x² = 0, x = 1. Der minimale Wert ist 2.
Beispiele für zusammenhängende Änderungsraten
- Der Radius eines Ballons wächst mit 2 cm/s. Wenn r = 5, wie schnell ändert sich das Volumen? V = 4/3 πr³, dV/dt = 4πr² × dr/dt = 4π(25)(2) = 200π ≈ 628,3 cm³/s.
- Eine 10 Fuß lange Leiter rutscht an einer Wand herunter. Die Basis bewegt sich mit 1 ft/s nach außen. Wenn sich die Basis 6 ft von der Wand entfernt befindet, rutscht die Spitze nach unten: Verwenden Sie x² + y² = 100, 2x(dx/dt) + 2y(dy/dt) = 0, y = 8, also dy/dt = -6/8 × 1 = -0,75 ft/s.
- Wasser füllt einen Kegel (Radius 3 m, Höhe 6 m) mit einer Rate von 2 m³/min. Wenn h = 4, dann ist r = 2, dh/dt = 2/(π × 4) = 1/(2π) ≈ 0,159 m/min.