Änderungsraten: Ableitungen
Eine Ableitung misst, wie schnell sich der Ausgabewert einer Funktion in Bezug auf ihren Eingabewert ändert – sie ist die momentane Änderungsrate an einem beliebigen Punkt. Sie wird als f'(x) oder dy/dx geschrieben, und die Ableitung ist die Steigung der Tangente an die Kurve an einem gegebenen Punkt. Ableitungen werden verwendet, um Bewegungen zu analysieren, Systeme zu optimieren und Veränderungen in der Wissenschaft, im Ingenieurwesen und in der Wirtschaft zu modellieren.
Bestandteile von Ableitungen
Dieser Abschnitt behandelt die grundlegenden Ableitungsregeln und -techniken:
- Potenzregel: Für f(x) = xⁿ ist die Ableitung f'(x) = nxⁿ⁻¹.
- Summen- und Konstantenregel: Die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen; Konstanten werden ausgeklammert, und die Ableitung einer einzelnen Konstanten ist 0.
- Produkt- und Quotientenregel: Produktregel: (fg)' = f'g + fg'. Quotientenregel: (f/g)' = (f'g - fg') / g².
- Kettenregel: Für zusammengesetzte Funktionen ist d/dx[f(g(x))] = f'(g(x)) × g'(x) – die äußere Funktion wird abgeleitet und mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert.
Beispiele für Ableitungen
Beispiele für die Potenzregel
- Bestimmen Sie die Ableitung von f(x) = x⁴: f'(x) = 4x³.
- Bestimmen Sie die Ableitung von f(x) = 3x⁵: f'(x) = 15x⁴.
- Bestimmen Sie die Ableitung von f(x) = x² + 6x - 2: f'(x) = 2x + 6.
Beispiele für die Summen- und Konstantenregel
- Ableitung von f(x) = 5x³ - 2x + 7: f'(x) = 15x² - 2 (die Konstante 7 fällt weg).
- Ableitung von f(x) = 4x² + 3x: f'(x) = 8x + 3.
- Ableitung von f(x) = 10: f'(x) = 0 (eine Konstante hat eine Änderungsrate von Null).
Beispiele für die Produkt- und Quotientenregel
- Bestimmen Sie d/dx von x² × sin(x): Unter Verwendung der Produktregel: 2x × sin(x) + x² × cos(x).
- Bestimmen Sie d/dx von (3x + 1)(x² - 4): Die Produktregel ergibt 3(x² - 4) + (3x + 1)(2x) = 3x² - 12 + 6x² + 2x = 9x² + 2x - 12.
- Bestimmen Sie d/dx von x/(x + 1): Die Quotientenregel ergibt ((1)(x + 1) - x(1)) / (x + 1)² = 1/(x + 1)².
Beispiele für die Kettenregel
- Bestimmen Sie d/dx von (2x + 3)⁵: Die äußere Ableitung ist 5(2x + 3)⁴, die innere Ableitung ist 2, also ist das Ergebnis 10(2x + 3)⁴.
- Bestimmen Sie d/dx von √(x² + 1): Schreiben Sie dies als (x² + 1)^(1/2) um, dann 1/2 × (x² + 1)^(-1/2) × 2x = x/√(x² + 1).
- Bestimmen Sie d/dx von sin(3x): Die äußere Ableitung ergibt cos(3x), multipliziert mit der inneren Ableitung 3, was 3cos(3x) ergibt.