Die Welt vermessen: Anwendungen von Integralen
Integrale gehen weit über die Berechnung von Flächen unter Kurven hinaus – sie berechnen Volumina von Körpern, die gesamte akkumulierte Menge, Durchschnittswerte und die von Kräften verrichtete Arbeit. Diese Anwendungen machen Integrale zu unverzichtbaren Werkzeugen in der Physik, im Ingenieurwesen, in der Wirtschaft und in der Biologie, um Dinge zu messen, die sich kontinuierlich verändern.
Bestandteile der Anwendungen von Integralen
Dieser Abschnitt behandelt die wichtigsten Anwendungsbereiche:
- Fläche zwischen Kurven: Die Fläche zwischen zwei Funktionen f(x) und g(x) von a bis b ist ∫ von a bis b von |f(x) - g(x)| dx.
- Rotationskörper: Wenn eine Region um eine Achse rotiert, entsteht ein Körper, dessen Volumen mit der Scheibenmethode berechnet werden kann: V = π ∫ [f(x)]² dx.
- Durchschnittlicher Wert einer Funktion: Der durchschnittliche Wert von f(x) auf [a, b] ist (1/(b-a)) × ∫ von a bis b von f(x) dx.
- Akkumulation und Gesamtänderung: Die Integration einer Ratenfunktion über ein Intervall ergibt die gesamte während dieser Zeit akkumulierte Menge.
Beispiele für Anwendungen von Integralen
Beispiele für Flächen zwischen Kurven
- Berechnen Sie die Fläche zwischen y = x² und y = x von 0 bis 1: ∫ von 0 bis 1 von (x - x²) dx = [x²/2 - x³/3] von 0 bis 1 = 1/2 - 1/3 = 1/6.
- Berechnen Sie die Fläche zwischen y = 4 und y = x² von -2 bis 2: ∫ von -2 bis 2 von (4 - x²) dx = [4x - x³/3] von -2 bis 2 = (8 - 8/3) - (-8 + 8/3) = 32/3 ≈ 10,67.
- Die Fläche zwischen zwei Umsatzkurven von Monat 1 bis Monat 6 ergibt die gesamte Umsatzdifferenz zwischen zwei Produkten über diesen Zeitraum.
Beispiele für Rotationskörper
- Rotieren Sie y = x von 0 bis 3 um die x-Achse: V = π ∫ von 0 bis 3 von x² dx = π[x³/3] von 0 bis 3 = π(9) = 9π ≈ 28,27 Kubikeinheiten.
- Rotieren Sie y = √x von 0 bis 4 um die x-Achse: V = π ∫ von 0 bis 4 von x dx = π[x²/2] von 0 bis 4 = π(8) = 8π ≈ 25,13 Kubikeinheiten.
- Eine Schalenform, die durch die Rotation von y = x² von 0 bis 2 entsteht, hat das Volumen V = π ∫ von 0 bis 2 von x⁴ dx = π[x⁵/5] von 0 bis 2 = 32π/5 ≈ 20,11 Kubikeinheiten.
Beispiele für Durchschnittswerte
- Berechnen Sie den Durchschnitt von f(x) = x² auf [0, 3]: Durchschnitt = (1/3) × ∫ von 0 bis 3 von x² dx = (1/3)(9) = 3.
- Berechnen Sie die Durchschnittstemperatur, wenn T(t) = 70 + 10sin(t) über [0, π]: Durchschnitt = (1/π) × ∫ von 0 bis π von (70 + 10sin(t)) dt = (1/π)(70π + 20) = 70 + 20/π ≈ 76,37°.
- Die Produktionsrate einer Fabrik beträgt f(t) = 50 + 4t Einheiten/Stunde. Die durchschnittliche Rate von t = 0 bis t = 8 beträgt (1/8) × ∫(50 + 4t) dt = (1/8)(400 + 128) = 66 Einheiten/Stunde.
Beispiele für Akkumulation
- Öl tritt mit r(t) = 100 - 5t Gallonen/Stunde aus. Die gesamte ausgelaufene Menge von t = 0 bis t = 10 beträgt ∫(100 - 5t) dt = [100t - 5t²/2] von 0 bis 10 = 1.000 - 250 = 750 Gallonen.
- Der Umsatz fließt mit R(t) = 200e^(0,05t) Dollar/Tag ein. Der gesamte Umsatz von Tag 0 bis Tag 30 beträgt ∫ 200e^(0,05t) dt = 4.000[e^(1,5) - 1] ≈ 12.936 $.
- Ein Rasensprenger liefert Wasser mit w(t) = 3 + 0,5t Gallonen/Minute. Die gesamte Wassermenge in 10 Minuten beträgt ∫(3 + 0,5t) dt = [3t + 0,25t²] von 0 bis 10 = 30 + 25 = 55 Gallonen.