Alles zusammenrechnen: Integrale
Integration ist die Umkehrung der Differentiation – sie ermittelt die gesamte Akkumulation einer Größe anhand ihrer Änderungsrate. Das Integral einer Funktion stellt die Fläche unter ihrer Kurve dar und steht somit in Beziehung zur zurückgelegten Strecke, den gesamten erzielten Einnahmen, dem gefüllten Volumen und unzähligen anderen Akkumulationsproblemen. Das Beherrschen grundlegender Integrationsregeln ist für alle Bereiche der höheren Mathematik unerlässlich.
Bestandteile von Integralen
Dieser Abschnitt behandelt die grundlegenden Integrationstechniken:
- Unbestimmte Integrale: Die Stammfunktion F(x) + C, wobei C die Integrationskonstante ist. Das Ergebnis ist eine Familie von Funktionen.
- Potenzregel für die Integration: Das Integral von xⁿ ist xⁿ⁺¹/(n+1) + C, gültig für alle n ≠ -1.
- Bestimmte Integrale: Das Integral von a bis b ergibt eine bestimmte Zahl, die die Nettofläche unter der Kurve zwischen x = a und x = b darstellt.
- Grundlegende Integrationseigenschaften: Das Integral einer Summe ist die Summe der Integrale; Konstanten können ausgeklammert werden.
Beispiele für Integrale
Beispiele für unbestimmte Integrale
- Integrieren Sie ∫ x³ dx: Mit der Potenzregel ergibt sich x⁴/4 + C.
- Integrieren Sie ∫ 5x² dx: Klammern Sie 5 aus, dann 5 × x³/3 + C = 5x³/3 + C.
- Integrieren Sie ∫ (4x + 3) dx: Integrieren Sie jeden Term einzeln, um 2x² + 3x + C zu erhalten.
Beispiele für die Potenzregel
- Integrieren Sie ∫ x⁵ dx = x⁶/6 + C.
- Integrieren Sie ∫ √x dx = ∫ x^(1/2) dx = x^(3/2)/(3/2) + C = 2x^(3/2)/3 + C.
- Integrieren Sie ∫ 1/x² dx = ∫ x⁻² dx = x⁻¹/(-1) + C = -1/x + C.
Beispiele für bestimmte Integrale
- Berechnen Sie ∫ von 0 bis 3 von 2x dx: Die Stammfunktion ist x². Berechnen: 3² - 0² = 9.
- Berechnen Sie ∫ von 1 bis 4 von x² dx: Die Stammfunktion ist x³/3. Berechnen: 64/3 - 1/3 = 63/3 = 21.
- Finden Sie die Fläche unter y = 3 von x = 0 bis x = 5: ∫ 3 dx = 3x, berechnet von 0 bis 5 ergibt 15 (ein Rechteck mit einer Breite von 5 und einer Höhe von 3).
Beispiele für Integrationseigenschaften
- Integrieren Sie ∫ (x² + 3x - 1) dx = x³/3 + 3x²/2 - x + C.
- Integrieren Sie ∫ 7 × x⁴ dx = 7 × x⁵/5 + C = 7x⁵/5 + C.
- Ein Auto fährt mit v(t) = 3t² m/s. Die gesamte Strecke von t = 0 bis t = 4 ist ∫ 3t² dt = t³, berechnet von 0 bis 4 ergibt 64 Meter.