Annäherung an einen Wert: Grenzwerte und Stetigkeit
Grenzwerte beschreiben, welchem Wert sich eine Funktion nähert, wenn sich die Eingabe immer weiter einem bestimmten Wert annähert, selbst wenn die Funktion diesen Wert nie tatsächlich erreicht. Stetigkeit bedeutet, dass eine Funktion an einem bestimmten Punkt keine Sprünge, Unterbrechungen oder Löcher aufweist. Zusammen bilden Grenzwerte und Stetigkeit die theoretische Grundlage für Ableitungen und Integrale – die beiden Säulen der Infinitesimalrechnung.
Komponenten von Grenzwerten und Stetigkeit
Dieser Abschnitt behandelt die wichtigsten Konzepte:
- Berechnung von Grenzwerten: Ermittlung des Wertes, dem sich eine Funktion nähert, wenn x → a, durch direkte Substitution, Faktorisierung oder Rationalisierung.
- Einseitige Grenzwerte: Der linksseitige Grenzwert (x → a⁻) und der rechtsseitige Grenzwert (x → a⁺) können unterschiedlich sein; der zweiseitige Grenzwert existiert nur, wenn beide gleich sind.
- Grenzwerte gegen Unendlich: Beschreibung des Funktionsverhaltens, wenn x unbegrenzt wächst, wodurch horizontale Asymptoten sichtbar werden.
- Stetigkeit: Eine Funktion ist bei x = a stetig, wenn f(a) definiert ist, der Grenzwert für x → a existiert und der Grenzwert gleich f(a) ist.
Beispiele für Grenzwerte und Stetigkeit
Beispiele für die Berechnung von Grenzwerten
- Berechne lim(x→3) von (2x + 1): Direkte Substitution ergibt 2(3) + 1 = 7.
- Berechne lim(x→2) von (x² - 4)/(x - 2): Faktorisiere den Zähler als (x-2)(x+2), kürze (x-2), wodurch lim(x→2) von (x+2) = 4 übrig bleibt.
- Berechne lim(x→0) von sin(x)/x: Dies ist ein bekannter Grenzwert, der gleich 1 ist (wird häufig in Beweisen der Infinitesimalrechnung verwendet).
Beispiele für einseitige Grenzwerte
- Für f(x) = |x|/x ist der linksseitige Grenzwert für x → 0⁻ -1 und der rechtsseitige Grenzwert für x → 0⁺ 1. Da sie unterschiedlich sind, existiert der zweiseitige Grenzwert nicht.
- Für eine Stufenfunktion, die gleich 2 ist, wenn x < 1, und gleich 5, wenn x ≥ 1, ist der linksseitige Grenzwert bei x = 1 gleich 2 und der rechtsseitige Grenzwert ist 5.
- Für f(x) = √x existiert der linksseitige Grenzwert für x → 0⁻ nicht (die Quadratwurzel aus negativen Zahlen ist nicht definiert), aber der rechtsseitige Grenzwert für x → 0⁺ ist 0.
Beispiele für Grenzwerte gegen Unendlich
- Berechne lim(x→∞) von 3/x: Wenn x wächst, schrumpft 3/x auf 0. Die horizontale Asymptote ist y = 0.
- Berechne lim(x→∞) von (2x + 1)/(x - 3): Dividiere Zähler und Nenner durch x, um (2 + 1/x)/(1 - 3/x) zu erhalten, was sich 2/1 = 2 nähert.
- Berechne lim(x→∞) von (5x²)/(x² + 4): Dividiere durch x², um 5/(1 + 4/x²) zu erhalten, was sich 5 nähert.
Beispiele für Stetigkeit
- f(x) = x² ist überall stetig – man kann die Parabel zeichnen, ohne den Stift abzusetzen.
- f(x) = 1/x ist bei x = 0 nicht stetig, da f(0) nicht definiert ist (Division durch Null).
- Die Funktion, die definiert ist als f(x) = x + 1, wenn x ≠ 2, und f(2) = 5, hat bei x = 2 eine Unstetigkeit, da der Grenzwert (der 3 ist) nicht gleich f(2) = 5 ist.