Die Verbindung zweier wichtiger Konzepte: Fundamentalsatz der Analysis
Der Fundamentalsatz der Analysis (FTA) ist die Brücke zwischen Differentiation und Integration und beweist, dass diese beiden Operationen Umkehroperationen voneinander sind. Teil 1 besagt, dass die Integration einer Funktion und anschließende Differentiation die ursprüngliche Funktion zurückgibt. Teil 2 besagt, dass ein bestimmtes Integral durch die Bestimmung einer Stammfunktion ausgewertet werden kann. Dieser Satz verwandelt Flächenberechnungen von mühsamen Summen in einfache algebraische Ausdrücke.
Bestandteile des Fundamentalsatzes
Dieser Abschnitt behandelt beide Teile des Satzes:
- FTA Teil 1: Wenn F(x) = ∫ von a bis x von f(t) dt, dann ist F'(x) = f(x). Die Differentiation hebt die Integration auf.
- FTA Teil 2: ∫ von a bis b von f(x) dx = F(b) - F(a), wobei F eine beliebige Stammfunktion von f ist. Dies bietet eine praktische Methode zur Berechnung bestimmter Integrale.
- Satz über die Nettoveränderung: Das Integral einer Änderungsrate über ein Intervall ergibt die Nettoveränderung: ∫ von a bis b von f'(x) dx = f(b) - f(a).
- Auswertung mit dem FTA: Der schrittweise Prozess zum Finden der Stammfunktion, Einsetzen der Grenzen und Berechnen der Differenz.
Beispiele für den Fundamentalsatz
Beispiele für FTA Teil 1
- Wenn F(x) = ∫ von 0 bis x von t² dt, dann ist F'(x) = x² – die Ableitung des Integrals ergibt die ursprüngliche Funktion.
- Wenn F(x) = ∫ von 1 bis x von (3t + 5) dt, dann ist F'(x) = 3x + 5.
- Wenn F(x) = ∫ von 2 bis x von cos(t) dt, dann ist F'(x) = cos(x).
Beispiele für FTA Teil 2
- Berechne ∫ von 1 bis 3 von 2x dx: Die Stammfunktion ist x². F(3) - F(1) = 9 - 1 = 8.
- Berechne ∫ von 0 bis 2 von (3x² + 1) dx: Die Stammfunktion ist x³ + x. F(2) - F(0) = (8 + 2) - (0 + 0) = 10.
- Berechne ∫ von 1 bis 4 von √x dx: Die Stammfunktion ist 2x^(3/2)/3. F(4) - F(1) = 2(8)/3 - 2(1)/3 = 16/3 - 2/3 = 14/3 ≈ 4,67.
Beispiele für den Satz über die Nettoveränderung
- Eine Population wächst mit einer Rate von P'(t) = 100 + 2t Personen pro Jahr. Die Bevölkerungszunahme von Jahr 0 bis Jahr 5 beträgt ∫ von 0 bis 5 von (100 + 2t) dt = [100t + t²] von 0 bis 5 = 500 + 25 = 525 Personen.
- Wasser fließt mit einer Rate von 4t Litern pro Minute in einen Tank. Die Gesamtmenge an Wasser von t = 0 bis t = 3 beträgt ∫ 4t dt = 2t², ausgewertet als 2(9) - 0 = 18 Liter.
- Die Geschwindigkeit eines Autos beträgt v(t) = 3t m/s. Die Entfernung von t = 2 bis t = 6 beträgt ∫ 3t dt = 3t²/2, ausgewertet als 3(36)/2 - 3(4)/2 = 54 - 6 = 48 Meter.
Beispiele für die schrittweise Auswertung
- Berechne ∫ von -1 bis 2 von (x² - 1) dx: Schritt 1: Die Stammfunktion ist x³/3 - x. Schritt 2: F(2) = 8/3 - 2 = 2/3. Schritt 3: F(-1) = -1/3 + 1 = 2/3. Schritt 4: 2/3 - 2/3 = 0.
- Berechne ∫ von 0 bis π von sin(x) dx: Die Stammfunktion ist -cos(x). Auswertung: -cos(π) - (-cos(0)) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2.
- Berechne ∫ von 1 bis e von 1/x dx: Die Stammfunktion ist ln(x). Auswertung: ln(e) - ln(1) = 1 - 0 = 1.