Rund und rund: Kreisberechnungen
Kreisberechnungen umfassen die Bestimmung des Umfangs (der Abstand um den Kreis), der Fläche (der Raum im Inneren) und verwandter Messwerte unter Verwendung der Konstanten π (ungefähr 3,14159). Von Pizzastücken bis zu Satellitenbahnen sind Kreise überall vorhanden, was diese Formeln zu einigen der praktischsten in der gesamten Geometrie macht.
Bestandteile von Kreisberechnungen
Dieser Abschnitt behandelt die wichtigsten Formeln und Konzepte:
- Umfang: Der Abstand um einen Kreis, berechnet als C = 2πr oder C = πd, wobei r der Radius und d der Durchmesser ist.
- Fläche: Der Raum innerhalb eines Kreises, berechnet als A = πr².
- Bogenlänge und Flächenausschnitt: Ein Teil des Umfangs (Bogenlänge = θ/360 × 2πr) und ein Teil der Kreisfläche (Flächenausschnitt = θ/360 × πr²), wobei θ der Mittelpunktswinkel in Grad ist.
- Durchmesser, Radius und Beziehungen: Der Durchmesser ist das Doppelte des Radius (d = 2r), und alle Kreisberechnungen ergeben sich daraus, wenn man nur einen dieser Werte kennt.
Beispiele für Kreisberechnungen
Umfang-Beispiele
- Ein Kreis hat einen Radius von 7 cm. C = 2π(7) = 14π ≈ 43,98 cm.
- Ein Kreis hat einen Durchmesser von 20 Zoll. C = π(20) = 20π ≈ 62,83 Zoll.
- Eine kreisförmige Rennstrecke hat einen Radius von 50 Metern. Eine Runde ist C = 2π(50) = 100π ≈ 314,16 Meter.
Flächen-Beispiele
- Ein Kreis hat einen Radius von 5 cm. A = π(5²) = 25π ≈ 78,54 cm².
- Ein kreisförmiger Garten hat einen Durchmesser von 12 Fuß, also ist der Radius 6 Fuß. A = π(6²) = 36π ≈ 113,10 Quadratfuß.
- Eine Pizza hat einen Radius von 9 Zoll. Die Gesamtfläche beträgt π(9²) = 81π ≈ 254,47 Quadratzoll.
Bogenlänge- und Flächenausschnitt-Beispiele
- Ein Kreis mit einem Radius von 10 cm hat einen 90°-Bogen. Bogenlänge = 90/360 × 2π(10) = 1/4 × 20π = 5π ≈ 15,71 cm.
- Ein Pizzastück ist ein 45°-Ausschnitt einer Pizza mit einem Radius von 9 Zoll. Flächenausschnitt = 45/360 × π(81) = 1/8 × 81π ≈ 31,81 Quadratzoll.
- Ein Scheibenwischer überstreicht einen 120°-Bogen mit einer Länge von 18 Zoll. Der Bogen, den er abdeckt, beträgt 120/360 × 2π(18) = 1/3 × 36π = 12π ≈ 37,70 Zoll.
Durchmesser- und Radius-Beispiele
- Ein Rad hat einen Umfang von 94,25 cm. Löse C = πd: d = 94,25 ÷ π ≈ 30 cm, also ist der Radius 15 cm.
- Ein kreisförmiger Teich hat eine Fläche von 201,06 m². Löse A = πr²: r² = 201,06 ÷ π ≈ 64, also ist r = 8 m und d = 16 m.
- Eine Uhr hat einen Durchmesser von 30 cm. Der Radius beträgt 15 cm, und der Umfang der Uhr beträgt π(30) ≈ 94,25 cm.