Die Regel für rechtwinklige Dreiecke: Satz des Pythagoras
Der Satz des Pythagoras besagt, dass in jedem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Hypotenuse (die längste Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt) gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten ist: a² + b² = c². Diese einfache Formel ermöglicht die Berechnung von Entfernungen, die Vermessung von Strukturen und die Lösung von Navigationsproblemen, die in der Bau-, Ingenieur- und Alltagspraxis auftreten.
Bestandteile des Satzes des Pythagoras
Dieser Abschnitt behandelt die wichtigsten Anwendungsbereiche des Satzes:
- Berechnung der Hypotenuse: Gegeben sind die beiden Katheten a und b, berechne c = √(a² + b²).
- Berechnung einer Kathete: Gegeben sind die Hypotenuse c und eine Kathete, berechne die fehlende Kathete: a = √(c² - b²).
- Pythagoräische Tripel: Mengen von drei ganzen Zahlen, die die Gleichung a² + b² = c² erfüllen, wie z. B. 3-4-5, 5-12-13 und 8-15-17.
- Anwendungen in der Praxis: Verwendung des Satzes zur Berechnung von Entfernungen, zur Überprüfung rechter Winkel und zur Lösung praktischer Messaufgaben.
Beispiele für den Satz des Pythagoras
Beispiele für die Berechnung der Hypotenuse
- Ein rechtwinkliges Dreieck hat Katheten von 3 und 4. Mit a² + b² = c²: 9 + 16 = 25, also c = √25 = 5.
- Ein rechtwinkliges Dreieck hat Katheten von 6 und 8. Berechne 36 + 64 = 100, also c = √100 = 10.
- Ein rechtwinkliges Dreieck hat Katheten von 5 und 12. Berechne 25 + 144 = 169, also c = √169 = 13.
Beispiele für die Berechnung einer Kathete
- Ein rechtwinkliges Dreieck hat eine Hypotenuse von 10 und eine Kathete von 6. Berechne a = √(100 - 36) = √64 = 8.
- Ein rechtwinkliges Dreieck hat eine Hypotenuse von 13 und eine Kathete von 5. Berechne a = √(169 - 25) = √144 = 12.
- Eine 15 Fuß lange Leiter lehnt an einer Wand, wobei ihr Fuß 9 Fuß von der Wand entfernt ist. Die Höhe, die sie erreicht, beträgt √(225 - 81) = √144 = 12 Fuß.
Beispiele für pythagoräische Tripel
- Das Tripel 3-4-5 kann skaliert werden: multipliziere mit 2, um 6-8-10 zu erhalten, mit 3, um 9-12-15 zu erhalten, und so weiter.
- Überprüfe, ob 7-24-25 ein Tripel ist: 49 + 576 = 625 und 25² = 625 ✓.
- Überprüfe, ob 5-11-12 ein Tripel ist: 25 + 121 = 146, aber 12² = 144, also nein – kein rechtwinkliges Dreieck.
Beispiele für Anwendungen
- Ein rechteckiges Feld ist 40 Meter breit und 30 Meter lang. Die diagonale Entfernung über das Feld beträgt √(1.600 + 900) = √2.500 = 50 Meter.
- Ein Fernsehbildschirm ist 36 Zoll breit und 27 Zoll hoch. Die Diagonale beträgt √(1.296 + 729) = √2.025 = 45 Zoll.
- Zwei Wanderer starten am selben Punkt. Einer geht 8 km nach Norden und der andere 6 km nach Osten. Die Entfernung zwischen ihnen in gerader Linie beträgt √(64 + 36) = √100 = 10 km.