Gleiche Form, gleiche oder unterschiedliche Größe: Kongruenz und Ähnlichkeit
Kongruente Figuren sind in Form und Größe identisch – eine kann durch starre Transformationen exakt auf die andere gelegt werden. Ähnliche Figuren haben die gleiche Form, können sich aber in der Größe unterscheiden, wobei alle entsprechenden Winkel gleich und die entsprechenden Seiten im Verhältnis zueinander stehen. Diese Konzepte bilden die Grundlage für Beweise, maßstabsgetreue Zeichnungen und Anwendungen in der realen Welt, wie z. B. das Lesen von Karten und der Bau von Modellen.
Komponenten von Kongruenz und Ähnlichkeit
Dieser Abschnitt behandelt die wichtigsten Prinzipien:
- Kongruenzkriterien: Dreiecke sind kongruent, wenn sie die Kriterien SSS (Seite-Seite-Seite), SWS (Seite-Winkel-Seite), WSW (Winkel-Seite-Winkel) oder WSW (Winkel-Winkel-Seite) erfüllen.
- Ähnlichkeitskriterien: Dreiecke sind ähnlich, wenn sie die Kriterien WW (Winkel-Winkel), SSS-Ähnlichkeit (alle Seiten im gleichen Verhältnis) oder SWS-Ähnlichkeit (zwei Seiten im gleichen Verhältnis mit gleichem eingeschlossenen Winkel) erfüllen.
- Entsprechende Teile: Bei kongruenten oder ähnlichen Figuren werden übereinstimmende Seiten und Winkel als entsprechende Teile bezeichnet. Bei kongruenten Figuren sind die entsprechenden Teile gleich (CPCTC).
- Skalierungsfaktor: Das Verhältnis der entsprechenden Seitenlängen bei ähnlichen Figuren. Wenn der Skalierungsfaktor k ist, dann skalieren sich die Flächen mit k² und die Volumina mit k³.
Beispiele für Kongruenz und Ähnlichkeit
Beispiele für Kongruenzkriterien
- Zwei Dreiecke haben die Seiten 5, 7, 9 cm und 5, 7, 9 cm. Aufgrund von SSS sind sie kongruent.
- Dreieck A hat die Seiten 6, 8 mit einem eingeschlossenen Winkel von 50°. Dreieck B hat die gleichen Werte. Aufgrund von SWS sind sie kongruent.
- Dreieck P hat die Winkel 40° und 60°, wobei die Seite zwischen ihnen 10 cm misst. Dreieck Q entspricht. Aufgrund von WSW sind sie kongruent.
Beispiele für Ähnlichkeitskriterien
- Dreieck X hat die Winkel 30° und 70°. Dreieck Y hat die Winkel 30° und 70°. Aufgrund von WW sind sie ähnlich (der dritte Winkel muss bei beiden 80° betragen).
- Dreieck A hat die Seiten 3, 4, 5. Dreieck B hat die Seiten 6, 8, 10. Jedes Paar steht im Verhältnis 1:2, daher sind sie aufgrund der SSS-Ähnlichkeit ähnlich.
- Zwei Dreiecke haben einen Winkel von 45° gemeinsam, und die Seiten, die diesen Winkel bilden, stehen bei beiden im Verhältnis 2:3. Aufgrund der SWS-Ähnlichkeit sind sie ähnlich.
Beispiele für entsprechende Teile
- Die Dreiecke ABC und DEF sind kongruent. Wenn AB = 12, dann ist DE = 12. Wenn Winkel A = 55°, dann ist Winkel D = 55°.
- Bei ähnlichen Dreiecken mit einem Skalierungsfaktor von 3 ist, wenn eine Seite des kleineren Dreiecks 4 cm beträgt, die entsprechende Seite des größeren 4 × 3 = 12 cm.
- Zwei kongruente Rechtecke haben übereinstimmende Diagonalen, Breiten und Längen – jede Messung ist identisch.
Beispiele für den Skalierungsfaktor
- Ein Modellauto wird im Maßstab 1:24 gebaut. Wenn das echte Auto 4,8 Meter lang ist, ist das Modell 4,8 ÷ 24 = 0,2 Meter (20 cm) lang.
- Zwei ähnliche Dreiecke haben Seiten im Verhältnis 2:5. Wenn das kleinere Dreieck eine Fläche von 12 cm² hat, hat das größere eine Fläche von 12 × (5/2)² = 12 × 6,25 = 75 cm².
- Eine Karte hat einen Maßstab von 1:50.000. Eine Entfernung von 3 cm auf der Karte entspricht 3 × 50.000 = 150.000 cm = 1,5 km in der Realität.