Bewegte Formen: Transformationen
Geometrische Transformationen verändern die Position, Größe oder Ausrichtung einer Form in der Koordinatenebene. Die vier Haupttypen – Translationen, Spiegelungen, Rotationen und Skalierungen – werden in der Computergrafik, Animation, Architektur und im Musterdesign eingesetzt. Das Verständnis von Transformationen vertieft auch das Verständnis von Symmetrie und Kongruenz bei den Schülern.
Komponenten von Transformationen
Dieser Abschnitt behandelt die vier Arten von Transformationen:
- Translationen (Verschiebungen): Verschieben jeden Punkt einer Form um die gleiche Distanz in die gleiche Richtung, beschrieben durch einen Vektor (x + a, y + b).
- Spiegelungen (Kippungen): Kippen einer Form an einer Spiegelachse (z. B. der x-Achse, der y-Achse oder der Linie y = x), wodurch ein Spiegelbild entsteht.
- Rotationen (Drehungen): Drehen einer Form um einen festen Mittelpunkt um einen bestimmten Winkel. Übliche Rotationen sind 90°, 180° und 270°.
- Skalierungen (Größenänderungen): Vergrößern oder Verkleinern einer Form von einem Mittelpunkt aus mit einem Skalierungsfaktor. Ein Faktor > 1 vergrößert; ein Faktor zwischen 0 und 1 verkleinert.
Beispiele für Transformationen
Beispiele für Translationen
- Verschieben Sie den Punkt (3, 5) um den Vektor (2, -3): Der neue Punkt ist (3 + 2, 5 - 3) = (5, 2).
- Verschieben Sie ein Dreieck mit den Eckpunkten (1, 1), (4, 1), (2, 4) um 3 nach rechts und 2 nach oben: Die neuen Eckpunkte sind (4, 3), (7, 3), (5, 6).
- Ein Schachstück bewegt sich von Feld (2, 1) nach (5, 4), was einer Translation von (+3, +3) entspricht.
Beispiele für Spiegelungen
- Spiegeln Sie (4, 3) an der x-Achse: Die x-Koordinate bleibt gleich und die y-Koordinate wird negiert, was (4, -3) ergibt.
- Spiegeln Sie (4, 3) an der y-Achse: Die y-Koordinate bleibt gleich und die x-Koordinate wird negiert, was (-4, 3) ergibt.
- Spiegeln Sie den Punkt (2, 5) an der Linie y = x: Vertauschen Sie die Koordinaten, um (5, 2) zu erhalten.
Beispiele für Rotationen
- Rotieren Sie (3, 2) um 90° gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung: Wenden Sie die Regel (x, y) → (-y, x) an, um (-2, 3) zu erhalten.
- Rotieren Sie (5, -1) um 180° um den Ursprung: Wenden Sie (x, y) → (-x, -y) an, um (-5, 1) zu erhalten.
- Eine Windmühlenflügel dreht sich um 90° im Uhrzeigersinn. Ein Punkt bei (4, 0) bewegt sich zu (0, -4), wobei (x, y) → (y, -x) verwendet wird.
Beispiele für Skalierungen
- Skalieren Sie (2, 3) mit einem Skalierungsfaktor von 3 vom Ursprung aus: Multiplizieren Sie beide Koordinaten mit 3, um (6, 9) zu erhalten.
- Skalieren Sie ein Dreieck mit den Eckpunkten (4, 2), (8, 2), (6, 6) mit einem Skalierungsfaktor von 1/2 vom Ursprung aus: Die neuen Eckpunkte sind (2, 1), (4, 1), (3, 3).
- Ein Foto ist 4 Zoll × 6 Zoll. Eine Vergrößerung mit einem Skalierungsfaktor von 1,5 ergibt 6 Zoll × 9 Zoll.