Punkte in der Ebene: Koordinatengeometrie
Die Koordinatengeometrie (auch analytische Geometrie genannt) verwendet die x-y-Koordinatenebene, um die Position, den Abstand und die Beziehungen von Punkten, Linien und Formen mithilfe algebraischer Formeln zu beschreiben. Durch die Zuweisung von Koordinaten zu geometrischen Objekten können Schüler Abstände berechnen, Mittelpunkte finden, Steigungen bestimmen und geometrische Eigenschaften durch Berechnungen beweisen.
Bestandteile der Koordinatengeometrie
Dieser Abschnitt behandelt die wichtigsten Formeln und Konzepte:
- Das Einzeichnen von Punkten und Quadranten: Jeder Punkt wird durch ein geordnetes Paar (x, y) identifiziert und in einem von vier Quadranten oder auf einer Achse platziert.
- Abstandsformel: Der Abstand zwischen zwei Punkten (x₁, y₁) und (x₂, y₂) ist d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²).
- Mittelpunktsformel: Der Mittelpunkt eines Segments ist ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2).
- Steigung: Die Steilheit einer Linie zwischen zwei Punkten ist m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁), was den Höhenunterschied im Verhältnis zur horizontalen Entfernung beschreibt.
Beispiele für Koordinatengeometrie
Beispiele für das Einzeichnen von Punkten
- Der Punkt (3, -2) befindet sich im Quadranten IV: 3 Einheiten rechts und 2 Einheiten unterhalb des Ursprungs.
- Der Punkt (-4, 5) befindet sich im Quadranten II: 4 Einheiten links und 5 Einheiten oberhalb des Ursprungs.
- Der Punkt (0, 6) liegt auf der y-Achse, nicht in einem der Quadranten.
Beispiele für die Abstandsformel
- Berechnen Sie den Abstand zwischen (1, 2) und (4, 6): d = √((4-1)² + (6-2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
- Berechnen Sie den Abstand zwischen (-3, 1) und (5, 1): d = √((5-(-3))² + (1-1)²) = √(64 + 0) = 8 (ein horizontales Segment).
- Zwei Städte haben die Koordinaten (2, 3) und (10, 9) auf einer Karte, wobei jede Einheit 1 Meile entspricht. Abstand = √(64 + 36) = √100 = 10 Meilen.
Beispiele für die Mittelpunktsformel
- Berechnen Sie den Mittelpunkt von (2, 8) und (6, 4): M = ((2+6)/2, (8+4)/2) = (4, 6).
- Berechnen Sie den Mittelpunkt von (-3, 5) und (7, -1): M = ((-3+7)/2, (5+(-1))/2) = (2, 2).
- Ein Zaun verläuft von (0, 0) nach (12, 8). Der Mittelpfosten befindet sich am Mittelpunkt: (6, 4).
Beispiele für die Steigung
- Berechnen Sie die Steigung zwischen (1, 3) und (4, 9): m = (9-3)/(4-1) = 6/3 = 2.
- Berechnen Sie die Steigung zwischen (2, 7) und (5, 7): m = (7-7)/(5-2) = 0/3 = 0 (eine horizontale Linie).
- Berechnen Sie die Steigung zwischen (-1, 4) und (3, -2): m = (-2-4)/(3-(-1)) = -6/4 = -3/2 (eine abwärts gerichtete Linie von links nach rechts).