¿Qué tan dispersos son los datos?: Rango y desviación estándar
Si bien las medidas de tendencia central describen el valor típico, las medidas de dispersión describen qué tan lejos están los valores de los datos de ese centro. El rango ofrece la imagen más simple: la diferencia entre los valores más alto y más bajo; mientras que la desviación estándar cuantifica la distancia promedio de cada punto de datos con respecto a la media, proporcionando una comprensión mucho más completa de la variabilidad.
Componentes del rango y la desviación estándar
Esta sección cubre las principales medidas de dispersión:
- Rango: La diferencia entre los valores máximo y mínimo en un conjunto de datos: Rango = máximo - mínimo.
- Varianza: El promedio de las diferencias al cuadrado con respecto a la media, que mide la dispersión general.
- Desviación estándar: La raíz cuadrada de la varianza, que devuelve la medida a las unidades originales de los datos.
- Interpretación de la dispersión: Una desviación estándar pequeña significa que los datos están agrupados cerca de la media; una desviación estándar grande significa que los datos están ampliamente dispersos.
Ejemplos de rango y desviación estándar
Ejemplos de rango
- Puntajes de un examen: 65, 72, 88, 91, 95. Rango = 95 - 65 = 30 puntos.
- Temperaturas diarias: 58 °F, 62 °F, 65 °F, 70 °F, 72 °F. Rango = 72 - 58 = 14 °F.
- Dos clases obtuvieron un promedio de 80, pero la clase A tiene un rango de 10 (agrupación estrecha), mientras que la clase B tiene un rango de 40 (amplia dispersión).
Ejemplos de varianza
- Datos: 4, 8, 6, 2, 10. Media = 6. Diferencias al cuadrado: (4-6)² + (8-6)² + (6-6)² + (2-6)² + (10-6)² = 4 + 4 + 0 + 16 + 16 = 40. Varianza = 40/5 = 8.
- Datos: 5, 5, 5, 5. Media = 5. Todas las diferencias son 0, por lo que la varianza = 0 (sin dispersión).
- Datos: 1, 10, 1, 10. Media = 5.5. La suma de las diferencias al cuadrado es 81, la varianza = 81/4 = 20.25 (alta variabilidad).
Ejemplos de desviación estándar
- Del primer ejemplo de varianza (varianza = 8): desviación estándar = √8 ≈ 2.83.
- Puntajes de un examen: 80, 82, 78, 84, 76. Media = 80. Diferencias al cuadrado: 0 + 4 + 4 + 16 + 16 = 40. Varianza = 8. DE = √8 ≈ 2.83 puntos.
- Alturas en cm: 160, 165, 170, 175, 180. Media = 170. Diferencias al cuadrado: 100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250. Varianza = 50. DE = √50 ≈ 7.07 cm.
Ejemplos de interpretación de la dispersión
- La máquina A produce pernos con una media de 10 mm y una DE de 0.1 mm. La máquina B tiene la misma media, pero una DE de 0.5 mm. La máquina A es más consistente.
- Si los puntajes de un examen tienen una media de 75 y una DE de 10, aproximadamente el 68% de los estudiantes obtuvieron una puntuación entre 65 y 85 (dentro de una desviación estándar).
- Dos jugadores de baloncesto tienen un promedio de 20 puntos por partido. Uno tiene una DE de 2 (consistente), el otro tiene una DE de 8 (rendimiento muy variable).