Resolviendo Cada Lado y Ángulo: Cálculo de Triángulos Rectángulos
El cálculo de triángulos rectángulos combina el teorema de Pitágoras con las razones trigonométricas para encontrar todos los lados y ángulos desconocidos de un triángulo rectángulo cuando se proporcionan solo algunas medidas. Este proceso, llamado "resolver" un triángulo, se utiliza en topografía, navegación, construcción y en cualquier campo donde se necesite una medición indirecta.
Componentes del Cálculo de Triángulos Rectángulos
Esta sección cubre las estrategias para resolver completamente un triángulo rectángulo:
- Dados Dos Lados: Utilice el teorema de Pitágoras para encontrar el tercer lado y luego la función trigonométrica inversa para encontrar los ángulos.
- Dado Un Lado y Un Ángulo Agudo: Utilice seno, coseno o tangente para encontrar los otros lados, y reste de 90° para encontrar el otro ángulo agudo.
- Triángulos Rectángulos Especiales: El triángulo de 45-45-90 (lados en la proporción 1:1:√2) y el triángulo de 30-60-90 (lados en la proporción 1:√3:2) tienen valores exactos.
- Aplicaciones: Resolver problemas del mundo real que involucran alturas, distancias, ángulos de elevación y ángulos de depresión.
Ejemplos de Cálculo de Triángulos Rectángulos
Ejemplos con Dos Lados Dados
- Los catetos miden 5 y 12. Hipotenusa = √(25 + 144) = √169 = 13. El ángulo más pequeño = tan⁻¹(5/12) ≈ 22.6°, y el más grande = 90 - 22.6 = 67.4°.
- La hipotenusa mide 17, un cateto mide 8. El otro cateto = √(289 - 64) = √225 = 15. El ángulo opuesto al lado de 8 = sin⁻¹(8/17) ≈ 28.1°.
- Los catetos miden 7 y 7. Hipotenusa = √(49 + 49) = √98 ≈ 9.90. Ambos ángulos agudos son de 45° (triángulo rectángulo isósceles).
Ejemplos con Un Lado y Un Ángulo Dados
- Ángulo = 35°, hipotenusa = 20. Lado adyacente = 20 × cos(35°) ≈ 16.38. Lado opuesto = 20 × sin(35°) ≈ 11.47. El otro ángulo = 55°.
- Ángulo = 50°, lado opuesto = 10. Hipotenusa = 10 / sin(50°) ≈ 13.05. Lado adyacente = 10 / tan(50°) ≈ 8.39. El otro ángulo = 40°.
- Ángulo = 60°, lado adyacente = 6. Lado opuesto = 6 × tan(60°) = 6√3 ≈ 10.39. Hipotenusa = 6 / cos(60°) = 12. El otro ángulo = 30°.
Ejemplos de Triángulos Rectángulos Especiales
- Un triángulo de 45-45-90 con catetos de 8: Hipotenusa = 8√2 ≈ 11.31.
- Un triángulo de 30-60-90 con el lado más corto de 5: El lado opuesto a 60° es 5√3 ≈ 8.66, y la hipotenusa es 10.
- Un cuadrado con una diagonal de 14 cm: Cada lado mide 14/√2 = 7√2 ≈ 9.90 cm (la diagonal del cuadrado crea dos triángulos de 45-45-90).
Ejemplos de Aplicaciones
- Una persona está a 30 metros de un edificio y mira hacia arriba con un ángulo de 55°. La altura del edificio por encima del nivel de los ojos es 30 × tan(55°) ≈ 42.84 metros.
- Un piloto a una altitud de 5000 pies observa una pista a un ángulo de depresión de 12°. La distancia terrestre a la pista es 5000 / tan(12°) ≈ 23,517 pies.
- Una rampa de 20 pies debe elevarse 4 pies. El ángulo de inclinación es sin⁻¹(4/20) = sin⁻¹(0.2) ≈ 11.54°.