Ecuaciones que siempre se cumplen: Identidades trigonométricas
Las identidades trigonométricas son ecuaciones que involucran funciones trigonométricas y que son verdaderas para todos los valores de entrada válidos, no solo para ángulos específicos. Permiten simplificar expresiones trigonométricas complejas, resolver ecuaciones trigonométricas y demostrar relaciones matemáticas. Dominar las identidades es esencial para la trigonometría avanzada, el cálculo y la física.
Componentes de las identidades trigonométricas
Esta sección cubre las familias de identidades más importantes:
- Identidades pitagóricas: sin²(θ) + cos²(θ) = 1, junto con las formas derivadas 1 + tan²(θ) = sec²(θ) y 1 + cot²(θ) = csc²(θ).
- Identidades recíprocas: csc(θ) = 1/sin(θ), sec(θ) = 1/cos(θ) y cot(θ) = 1/tan(θ).
- Identidades de cociente: tan(θ) = sin(θ)/cos(θ) y cot(θ) = cos(θ)/sin(θ).
- Identidades de cofunción: sin(90° - θ) = cos(θ), cos(90° - θ) = sin(θ) y tan(90° - θ) = cot(θ).
Ejemplos de identidades trigonométricas
Ejemplos de identidades pitagóricas
- Si sin(θ) = 3/5, encuentre cos(θ): Usando sin²(θ) + cos²(θ) = 1, obtenemos 9/25 + cos²(θ) = 1, por lo que cos²(θ) = 16/25, y cos(θ) = 4/5 (en el primer cuadrante).
- Simplifique sin²(θ) + cos²(θ) + tan²(θ): Reemplace sin² + cos² con 1 para obtener 1 + tan²(θ) = sec²(θ).
- Verifique para θ = 30°: sin²(30°) + cos²(30°) = (1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4 = 1 ✓.
Ejemplos de identidades recíprocas
- Si sin(θ) = 0.6, entonces csc(θ) = 1/0.6 ≈ 1.667.
- Si cos(θ) = √2/2, entonces sec(θ) = 1/(√2/2) = 2/√2 = √2.
- Si tan(θ) = 3/4, entonces cot(θ) = 4/3.
Ejemplos de identidades de cociente
- Si sin(θ) = 5/13 y cos(θ) = 12/13, entonces tan(θ) = sin(θ)/cos(θ) = (5/13)/(12/13) = 5/12.
- Simplifique sin(θ)/cos(θ) × cos(θ): Esto es igual a sin(θ) porque los términos cos(θ) se cancelan.
- Verifique para θ = 45°: tan(45°) = sin(45°)/cos(45°) = (√2/2)/(√2/2) = 1 ✓.
Ejemplos de identidades de cofunción
- sin(30°) = cos(60°) = 1/2. El seno de un ángulo es igual al coseno de su complemento.
- cos(25°) = sin(65°). Dado que 25° + 65° = 90°, estos son cofunciones.
- Si tan(θ) = 2.5, entonces cot(90° - θ) = 2.5 también, porque la tangente y la cotangente son cofunciones.