Lados y ángulos: cálculos de razones trigonométricas
Las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) relacionan los ángulos de un triángulo rectángulo con las razones de sus lados. Estas razones, que se pueden recordar mediante el mnemónico SOH CAH TOA, permiten calcular los lados o ángulos desconocidos en triángulos rectángulos, y tienen aplicaciones en navegación, topografía, arquitectura y física.
Componentes de los cálculos de razones trigonométricas
Esta sección cubre las tres razones principales y sus inversas:
- Seno (sin): sin(θ) = lado opuesto / hipotenusa: la razón del lado opuesto al ángulo al lado más largo.
- Coseno (cos): cos(θ) = lado adyacente / hipotenusa: la razón del lado adyacente al ángulo al lado más largo.
- Tangente (tan): tan(θ) = lado opuesto / lado adyacente: la razón del lado opuesto al lado adyacente.
- Funciones trigonométricas inversas: utilice sin⁻¹, cos⁻¹ o tan⁻¹ para encontrar un ángulo cuando conozca la razón de dos lados.
Ejemplos de cálculos de razones trigonométricas
Ejemplos de seno
- En un triángulo rectángulo con un ángulo de 30°, el lado opuesto es 5 y la hipotenusa es 10. Comprobación: sin(30°) = 5/10 = 0,5 ✓.
- Encuentre el lado opuesto cuando la hipotenusa es 20 y el ángulo es 45°: lado opuesto = 20 × sin(45°) = 20 × 0,7071 ≈ 14,14.
- Una cometa tiene una cuerda de 50 metros de largo que forma un ángulo de 60° con el suelo. La altura de la cometa es 50 × sin(60°) = 50 × 0,866 ≈ 43,3 metros.
Ejemplos de coseno
- En un triángulo rectángulo con un ángulo de 60°, el lado adyacente es 4 y la hipotenusa es 8. Comprobación: cos(60°) = 4/8 = 0,5 ✓.
- Encuentre el lado adyacente cuando la hipotenusa es 15 y el ángulo es 30°: lado adyacente = 15 × cos(30°) = 15 × 0,866 ≈ 12,99.
- Una rampa tiene 12 pies de largo y una inclinación de 20°. La distancia horizontal que cubre es 12 × cos(20°) ≈ 12 × 0,9397 ≈ 11,28 pies.
Ejemplos de tangente
- En un triángulo rectángulo con un ángulo de 45°, los lados opuesto y adyacente son ambos 7. Comprobación: tan(45°) = 7/7 = 1 ✓.
- Encuentre el lado opuesto cuando el lado adyacente es 9 y el ángulo es 53°: lado opuesto = 9 × tan(53°) ≈ 9 × 1,3270 ≈ 11,94.
- Un árbol proyecta una sombra de 15 metros cuando el sol está a una elevación de 40°. La altura del árbol es 15 × tan(40°) ≈ 15 × 0,8391 ≈ 12,59 metros.
Ejemplos de funciones trigonométricas inversas
- Un triángulo rectángulo tiene lado opuesto = 3 y hipotenusa = 5. El ángulo es sin⁻¹(3/5) = sin⁻¹(0,6) ≈ 36,87°.
- Un triángulo rectángulo tiene lado adyacente = 8 y hipotenusa = 10. El ángulo es cos⁻¹(8/10) = cos⁻¹(0,8) ≈ 36,87°.
- Una escalera llega a una altura de 6 pies en una pared y su base está a 4 pies de la pared. El ángulo es tan⁻¹(6/4) = tan⁻¹(1,5) ≈ 56,31°.