Deux façons de mesurer : conversions radians/degrés
Les degrés et les radians sont deux unités utilisées pour mesurer les angles. Les degrés divisent une rotation complète en 360 parties égales, tandis que les radians mettent en relation l’angle avec le rayon d’un cercle : une rotation complète équivaut à 2π radians. La conversion entre ces deux unités est essentielle pour la trigonométrie, le calcul différentiel et intégral, la physique et l’ingénierie, où le radian est l’unité standard.
Éléments des conversions radians/degrés
Cette section traite des formules de conversion et des valeurs de référence importantes :
- Degrés en radians : multipliez la mesure en degrés par π/180 pour la convertir en radians.
- Radians en degrés : multipliez la mesure en radians par 180/π pour la convertir en degrés.
- Angles de référence courants : mémorisez les conversions importantes : 30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3, 90° = π/2, 180° = π, 360° = 2π.
- Longueur d’arc en radians : lorsque l’angle est exprimé en radians, la longueur de l’arc est égale à r × θ, ce qui rend les radians naturels pour les calculs circulaires.
Exemples de conversions radians/degrés
Exemples de conversion de degrés en radians
- Convertir 90° en radians : 90 × π/180 = π/2 radians.
- Convertir 120° en radians : 120 × π/180 = 2π/3 radians.
- Convertir 270° en radians : 270 × π/180 = 3π/2 radians.
Exemples de conversion de radians en degrés
- Convertir π/3 en degrés : (π/3) × 180/π = 60°.
- Convertir 5π/6 en degrés : (5π/6) × 180/π = 150°.
- Convertir 3π/4 en degrés : (3π/4) × 180/π = 135°.
Exemples d’angles de référence courants
- 45° = π/4 radians. Il s’agit de l’angle d’un triangle rectangle isocèle, où les deux côtés sont égaux.
- 60° = π/3 radians. Dans un triangle équilatéral, chaque angle mesure exactement π/3 radians.
- 180° = π radians. Une ligne droite représente la moitié d’une rotation, ce qui équivaut à π radians.
Exemples de longueur d’arc
- Un cercle de rayon 10 cm a un angle au centre de π/4 radians. La longueur de l’arc est égale à 10 × π/4 = 2,5π ≈ 7,85 cm.
- Une roue de rayon 0,3 m effectue une rotation de 2π/3 radians. La distance parcourue est de 0,3 × 2π/3 = 0,2π ≈ 0,63 m.
- L’aiguille des minutes d’une horloge mesure 12 cm de long. En 20 minutes (1/3 de rotation = 2π/3 radians), l’extrémité parcourt 12 × 2π/3 = 8π ≈ 25,13 cm.