Résoudre tous les côtés et tous les angles : calculs sur les triangles rectangles
Les calculs sur les triangles rectangles combinent le théorème de Pythagore avec les rapports trigonométriques pour déterminer tous les côtés et tous les angles inconnus d’un triangle rectangle, en se basant sur quelques mesures données. Ce processus, appelé « résolution » d’un triangle, est utilisé en topographie, en navigation, en construction et dans tous les domaines où des mesures indirectes sont nécessaires.
Composantes des calculs sur les triangles rectangles
Cette section traite des stratégies permettant de résoudre complètement un triangle rectangle :
- Deux côtés donnés : Utilisez le théorème de Pythagore pour trouver le troisième côté, puis utilisez les fonctions trigonométriques inverses pour trouver les angles.
- Un côté et un angle aigu donnés : Utilisez le sinus, le cosinus ou la tangente pour trouver les autres côtés, puis soustrayez de 90° pour trouver l’autre angle aigu.
- Triangles rectangles spéciaux : Le triangle 45-45-90 (côtés dans le rapport 1:1:√2) et le triangle 30-60-90 (côtés dans le rapport 1:√3:2) ont des valeurs exactes.
- Applications : Résoudre des problèmes réels impliquant des hauteurs, des distances, des angles d’élévation et des angles de dépression.
Exemples de calculs sur les triangles rectangles
Exemples avec deux côtés donnés
- Les côtés sont 5 et 12. Hypothénuse = √(25 + 144) = √169 = 13. Le plus petit angle = tan⁻¹(5/12) ≈ 22,6°, et le plus grand = 90 - 22,6 = 67,4°.
- L’hypoténuse est 17, un côté est 8. L’autre côté = √(289 - 64) = √225 = 15. L’angle opposé au côté de 8 = sin⁻¹(8/17) ≈ 28,1°.
- Les côtés sont 7 et 7. Hypothénuse = √(49 + 49) = √98 ≈ 9,90. Les deux angles aigus sont de 45° (triangle rectangle isocèle).
Exemples avec un côté et un angle donnés
- Angle = 35°, hypoténuse = 20. Côté adjacent = 20 × cos(35°) ≈ 16,38. Côté opposé = 20 × sin(35°) ≈ 11,47. L’autre angle = 55°.
- Angle = 50°, côté opposé = 10. Hypothénuse = 10 / sin(50°) ≈ 13,05. Côté adjacent = 10 / tan(50°) ≈ 8,39. L’autre angle = 40°.
- Angle = 60°, côté adjacent = 6. Côté opposé = 6 × tan(60°) = 6√3 ≈ 10,39. Hypothénuse = 6 / cos(60°) = 12. L’autre angle = 30°.
Exemples de triangles rectangles spéciaux
- Un triangle 45-45-90 avec des côtés de 8 : hypoténuse = 8√2 ≈ 11,31.
- Un triangle 30-60-90 avec le côté le plus court de 5 : le côté opposé à 60° est 5√3 ≈ 8,66, et l’hypoténuse est 10.
- Un carré avec une diagonale de 14 cm : chaque côté est 14/√2 = 7√2 ≈ 9,90 cm (la diagonale du carré crée deux triangles 45-45-90).
Exemples d’applications
- Une personne se tient à 30 mètres d’un bâtiment et regarde vers le haut avec un angle de 55°. La hauteur du bâtiment au-dessus du niveau des yeux est de 30 × tan(55°) ≈ 42,84 mètres.
- Un pilote, à une altitude de 1 500 mètres, aperçoit une piste d’atterrissage avec un angle de dépression de 12°. La distance au sol jusqu’à la piste est de 1 500 / tan(12°) ≈ 23 517 pieds.
- Une rampe de 20 pieds doit s’élever de 4 pieds. L’angle d’inclinaison est sin⁻¹(4/20) = sin⁻¹(0,2) ≈ 11,54°.