Équations toujours valides : identités trigonométriques
Les identités trigonométriques sont des équations qui font intervenir des fonctions trigonométriques et qui sont vraies pour toutes les valeurs d’entrée valides, et pas seulement pour des angles spécifiques. Elles permettent de simplifier des expressions trigonométriques complexes, de résoudre des équations trigonométriques et de prouver des relations mathématiques. La maîtrise des identités est essentielle pour la trigonométrie avancée, le calcul différentiel et intégral et la physique.
Composantes des identités trigonométriques
Cette section traite des familles d’identités les plus importantes :
- Identités pythagoriciennes : sin²(θ) + cos²(θ) = 1, ainsi que les formes dérivées 1 + tan²(θ) = sec²(θ) et 1 + cot²(θ) = csc²(θ).
- Identités réciproques : csc(θ) = 1/sin(θ), sec(θ) = 1/cos(θ) et cot(θ) = 1/tan(θ).
- Identités quotient : tan(θ) = sin(θ)/cos(θ) et cot(θ) = cos(θ)/sin(θ).
- Identités de cofonction : sin(90° - θ) = cos(θ), cos(90° - θ) = sin(θ) et tan(90° - θ) = cot(θ).
Exemples d’identités trigonométriques
Exemples d’identités pythagoriciennes
- Si sin(θ) = 3/5, trouver cos(θ) : en utilisant sin²(θ) + cos²(θ) = 1, on obtient 9/25 + cos²(θ) = 1, donc cos²(θ) = 16/25, et cos(θ) = 4/5 (dans le premier quadrant).
- Simplifier sin²(θ) + cos²(θ) + tan²(θ) : remplacer sin² + cos² par 1 pour obtenir 1 + tan²(θ) = sec²(θ).
- Vérifier pour θ = 30° : sin²(30°) + cos²(30°) = (1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4 = 1 ✓.
Exemples d’identités réciproques
- Si sin(θ) = 0,6, alors csc(θ) = 1/0,6 ≈ 1,667.
- Si cos(θ) = √2/2, alors sec(θ) = 1/(√2/2) = 2/√2 = √2.
- Si tan(θ) = 3/4, alors cot(θ) = 4/3.
Exemples d’identités quotient
- Si sin(θ) = 5/13 et cos(θ) = 12/13, alors tan(θ) = sin(θ)/cos(θ) = (5/13)/(12/13) = 5/12.
- Simplifier sin(θ)/cos(θ) × cos(θ) : cela est égal à sin(θ) car les termes cos(θ) s’annulent.
- Vérifier pour θ = 45° : tan(45°) = sin(45°)/cos(45°) = (√2/2)/(√2/2) = 1 ✓.
Exemples d’identités de cofonction
- sin(30°) = cos(60°) = 1/2. Le sinus d’un angle est égal au cosinus de son complément.
- cos(25°) = sin(65°). Puisque 25° + 65° = 90°, il s’agit de cofonctions.
- Si tan(θ) = 2,5, alors cot(90° - θ) = 2,5 également, car la tangente et la cotangente sont des cofonctions.