Côtés et angles : calculs des rapports trigonométriques
Les rapports trigonométriques (sinus, cosinus et tangente) mettent en relation les angles d’un triangle rectangle avec les rapports de ses côtés. On les mémorise grâce à l’acronyme SOH CAH TOA. Ces rapports permettent de calculer les côtés ou les angles inconnus dans les triangles rectangles, et ils sont utilisés dans la navigation, la géodésie, l’architecture et la physique.
Composantes des calculs des rapports trigonométriques
Cette section traite des trois rapports principaux et de leurs inverses :
- Sinus (sin) : sin(θ) = côté opposé / hypoténuse, soit le rapport du côté opposé à l’angle sur le côté le plus long.
- Cosinus (cos) : cos(θ) = côté adjacent / hypoténuse, soit le rapport du côté adjacent à l’angle sur le côté le plus long.
- Tangente (tan) : tan(θ) = côté opposé / côté adjacent, soit le rapport du côté opposé sur le côté adjacent.
- Fonctions trigonométriques inverses : utilisez sin⁻¹, cos⁻¹ ou tan⁻¹ pour trouver un angle lorsque vous connaissez le rapport de deux côtés.
Exemples de calculs des rapports trigonométriques
Exemples de sinus
- Dans un triangle rectangle avec un angle de 30°, le côté opposé est de 5 et l’hypoténuse est de 10. Vérification : sin(30°) = 5/10 = 0,5 ✓.
- Déterminez le côté opposé lorsque l’hypoténuse est de 20 et que l’angle est de 45° : côté opposé = 20 × sin(45°) = 20 × 0,7071 ≈ 14,14.
- Une ficelle de cerf-volant mesure 50 mètres de long et forme un angle de 60° avec le sol. La hauteur du cerf-volant est de 50 × sin(60°) = 50 × 0,866 ≈ 43,3 mètres.
Exemples de cosinus
- Dans un triangle rectangle avec un angle de 60°, le côté adjacent est de 4 et l’hypoténuse est de 8. Vérification : cos(60°) = 4/8 = 0,5 ✓.
- Déterminez le côté adjacent lorsque l’hypoténuse est de 15 et que l’angle est de 30° : côté adjacent = 15 × cos(30°) = 15 × 0,866 ≈ 12,99.
- Une rampe mesure 12 pieds de long et a une inclinaison de 20°. La distance horizontale qu’elle couvre est de 12 × cos(20°) ≈ 12 × 0,9397 ≈ 11,28 pieds.
Exemples de tangente
- Dans un triangle rectangle avec un angle de 45°, les côtés opposé et adjacent mesurent tous deux 7. Vérification : tan(45°) = 7/7 = 1 ✓.
- Déterminez le côté opposé lorsque le côté adjacent est de 9 et que l’angle est de 53° : côté opposé = 9 × tan(53°) ≈ 9 × 1,3270 ≈ 11,94.
- Un arbre projette une ombre de 15 mètres lorsque le soleil est à 40° au-dessus de l’horizon. La hauteur de l’arbre est de 15 × tan(40°) ≈ 15 × 0,8391 ≈ 12,59 mètres.
Exemples de fonctions trigonométriques inverses
- Un triangle rectangle a un côté opposé de 3 et une hypoténuse de 5. L’angle est sin⁻¹(3/5) = sin⁻¹(0,6) ≈ 36,87°.
- Un triangle rectangle a un côté adjacent de 8 et une hypoténuse de 10. L’angle est cos⁻¹(8/10) = cos⁻¹(0,8) ≈ 36,87°.
- Une échelle atteint une hauteur de 6 pieds sur un mur et sa base est à 4 pieds du mur. L’angle est tan⁻¹(6/4) = tan⁻¹(1,5) ≈ 56,31°.