모든 변과 각을 구하기: 직각삼각형 계산
직각삼각형 계산은 피타고라스 정리와 삼각비율을 결합하여 몇 가지 측정값만 주어졌을 때 직각삼각형의 모든 알 수 없는 변과 각을 구하는 방법입니다. 이 과정, 즉 "삼각형 풀기"는 측량, 항해, 건설 및 간접 측정이 필요한 모든 분야에서 사용됩니다.
직각삼각형 계산의 구성 요소
이 섹션에서는 직각삼각형을 완전히 풀기 위한 전략을 다룹니다.
- 두 변이 주어진 경우: 피타고라스 정리를 사용하여 세 번째 변을 구한 다음, 역삼각함수를 사용하여 각을 구합니다.
- 한 변과 한 예각이 주어진 경우: 사인, 코사인 또는 탄젠트를 사용하여 다른 변을 구하고, 90°에서 빼서 다른 예각을 구합니다.
- 특수한 직각삼각형: 45-45-90 삼각형(변의 비율 1:1:√2)과 30-60-90 삼각형(변의 비율 1:√3:2)은 정확한 값을 가집니다.
- 응용: 높이, 거리, 상승각 및 하강각과 관련된 실제 문제를 해결합니다.
직각삼각형 계산의 예시
두 변이 주어진 경우의 예시
- 빗변과 다른 한 변이 각각 5와 12입니다. 빗변 = √(25 + 144) = √169 = 13. 작은 각 = tan⁻¹(5/12) ≈ 22.6°, 큰 각 = 90 - 22.6 = 67.4°.
- 빗변이 17이고, 다른 한 변이 8입니다. 다른 변 = √(289 - 64) = √225 = 15. 8인 변의 대각 = sin⁻¹(8/17) ≈ 28.1°.
- 두 변이 각각 7과 7입니다. 빗변 = √(49 + 49) = √98 ≈ 9.90. 두 예각은 모두 45°입니다(이등변 직각삼각형).
한 변과 한 각이 주어진 경우의 예시
- 각 = 35°, 빗변 = 20. 빗변에 인접한 변 = 20 × cos(35°) ≈ 16.38. 빗변에 대각한 변 = 20 × sin(35°) ≈ 11.47. 다른 각 = 55°.
- 각 = 50°, 빗변에 대각한 변 = 10. 빗변 = 10 / sin(50°) ≈ 13.05. 빗변에 인접한 변 = 10 / tan(50°) ≈ 8.39. 다른 각 = 40°.
- 각 = 60°, 빗변에 인접한 변 = 6. 빗변에 대각한 변 = 6 × tan(60°) = 6√3 ≈ 10.39. 빗변 = 6 / cos(60°) = 12. 다른 각 = 30°.
특수한 직각삼각형의 예시
- 빗변이 8인 45-45-90 삼각형: 빗변 = 8√2 ≈ 11.31.
- 가장 짧은 변이 5인 30-60-90 삼각형: 60°에 대각한 변은 5√3 ≈ 8.66이고, 빗변은 10입니다.
- 대각선이 14cm인 정사각형: 각 변은 14/√2 = 7√2 ≈ 9.90 cm입니다(정사각형의 대각선은 두 개의 45-45-90 삼각형을 만듭니다).
응용 예시
- 한 사람이 건물에서 30미터 거리에 서서 55° 각도로 위를 올려다봅니다. 눈높이 위 건물의 높이는 30 × tan(55°) ≈ 42.84미터입니다.
- 5,000피트 고도에 있는 조종사가 12°의 하강각으로 활주로를 발견합니다. 활주로까지의 지면 거리는 5,000 / tan(12°) ≈ 23,517피트입니다.
- 20피트 경사로가 4피트 높이로 올라야 합니다. 경사각은 sin⁻¹(4/20) = sin⁻¹(0.2) ≈ 11.54°입니다.