항상 성립하는 방정식: 삼각함수 항등식
삼각함수 항등식은 특정 각뿐만 아니라 모든 유효한 입력 값에 대해 참인 삼각함수를 포함하는 방정식입니다. 이를 통해 복잡한 삼각함수 표현식을 단순화하고, 삼각함수 방정식을 풀고, 수학적 관계를 증명할 수 있습니다. 항등식을 마스터하는 것은 고급 삼각법, 미적분학 및 물리학에 필수적입니다.
삼각함수 항등식의 구성 요소
이 섹션에서는 가장 중요한 항등식 계열을 다룹니다.
- 피타고라스 항등식: sin²(θ) + cos²(θ) = 1, 그리고 유도된 형태인 1 + tan²(θ) = sec²(θ) 및 1 + cot²(θ) = csc²(θ).
- 상호 항등식: csc(θ) = 1/sin(θ), sec(θ) = 1/cos(θ), 그리고 cot(θ) = 1/tan(θ).
- 몫 항등식: tan(θ) = sin(θ)/cos(θ) 및 cot(θ) = cos(θ)/sin(θ).
- 여함수 항등식: sin(90° - θ) = cos(θ), cos(90° - θ) = sin(θ), 그리고 tan(90° - θ) = cot(θ).
삼각함수 항등식의 예시
피타고라스 항등식 예시
- sin(θ) = 3/5일 때, cos(θ)를 구합니다. sin²(θ) + cos²(θ) = 1을 사용하면 9/25 + cos²(θ) = 1이므로, cos²(θ) = 16/25이고, cos(θ) = 4/5 (제1사분면).
- sin²(θ) + cos²(θ) + tan²(θ)를 단순화합니다. sin² + cos²를 1로 대체하면 1 + tan²(θ) = sec²(θ)가 됩니다.
- θ = 30°일 때 확인합니다. sin²(30°) + cos²(30°) = (1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4 = 1 ✓.
상호 항등식 예시
- sin(θ) = 0.6일 때, csc(θ) = 1/0.6 ≈ 1.667입니다.
- cos(θ) = √2/2일 때, sec(θ) = 1/(√2/2) = 2/√2 = √2입니다.
- tan(θ) = 3/4일 때, cot(θ) = 4/3입니다.
몫 항등식 예시
- sin(θ) = 5/13이고 cos(θ) = 12/13일 때, tan(θ) = sin(θ)/cos(θ) = (5/13)/(12/13) = 5/12입니다.
- sin(θ)/cos(θ) × cos(θ)를 단순화합니다. 이는 cos(θ) 항이 상쇄되므로 sin(θ)와 같습니다.
- θ = 45°일 때 확인합니다. tan(45°) = sin(45°)/cos(45°) = (√2/2)/(√2/2) = 1 ✓.
여함수 항등식 예시
- sin(30°) = cos(60°) = 1/2입니다. 각의 사인은 그 각의 여각의 코사인과 같습니다.
- cos(25°) = sin(65°). 25° + 65° = 90°이므로, 이들은 여함수입니다.
- tan(θ) = 2.5일 때, cot(90° - θ) = 2.5이기도 합니다. 왜냐하면 탄젠트와 코탄젠트는 여함수이기 때문입니다.