변과 각: 삼각비 계산
삼각비(사인, 코사인, 탄젠트)는 직각삼각형의 각과 변의 비율 간의 관계를 나타냅니다. 기억하기 쉽게 SOH CAH TOA라는 약어로 표현되며, 이 비율을 사용하면 직각삼각형에서 알 수 없는 변이나 각을 계산할 수 있습니다. 이는 항해, 측량, 건축, 물리학 등 다양한 분야에 응용됩니다.
삼각비 계산의 구성 요소
이 섹션에서는 세 가지 주요 삼각비와 그 역함수에 대해 설명합니다.
- 사인(sin): sin(θ) = 대변 / 빗변 — 주어진 각의 대변과 가장 긴 변(빗변)의 비율입니다.
- 코사인(cos): cos(θ) = 인접변 / 빗변 — 주어진 각에 인접한 변과 가장 긴 변(빗변)의 비율입니다.
- 탄젠트(tan): tan(θ) = 대변 / 인접변 — 주어진 각의 대변과 인접변의 비율입니다.
- 역삼각함수: 두 변의 비율을 알고 있을 때 각을 구하려면 sin⁻¹, cos⁻¹, 또는 tan⁻¹을 사용합니다.
삼각비 계산 예시
사인 예시
- 한 각이 30°인 직각삼각형에서 대변의 길이가 5이고 빗변의 길이가 10입니다. 확인: sin(30°) = 5/10 = 0.5 ✓.
- 빗변의 길이가 20이고 각이 45°일 때 대변의 길이를 구합니다: 대변 = 20 × sin(45°) = 20 × 0.7071 ≈ 14.14.
- 연의 길이가 50미터이고, 지면과의 각이 60°일 때 연의 높이는 50 × sin(60°) = 50 × 0.866 ≈ 43.3미터입니다.
코사인 예시
- 한 각이 60°인 직각삼각형에서 인접변의 길이가 4이고 빗변의 길이가 8입니다. 확인: cos(60°) = 4/8 = 0.5 ✓.
- 빗변의 길이가 15이고 각이 30°일 때 인접변의 길이를 구합니다: 인접변 = 15 × cos(30°) = 15 × 0.866 ≈ 12.99.
- 경사각이 20°인 경사로의 길이가 12피트입니다. 경사로가 가로로 뻗은 거리는 12 × cos(20°) ≈ 12 × 0.9397 ≈ 11.28피트입니다.
탄젠트 예시
- 한 각이 45°인 직각삼각형에서 대변과 인접변의 길이가 모두 7입니다. 확인: tan(45°) = 7/7 = 1 ✓.
- 인접변의 길이가 9이고 각이 53°일 때 대변의 길이를 구합니다: 대변 = 9 × tan(53°) ≈ 9 × 1.3270 ≈ 11.94.
- 태양의 고도가 40°일 때 나무가 15미터의 그림자를 드리웁니다. 나무의 높이는 15 × tan(40°) ≈ 15 × 0.8391 ≈ 12.59미터입니다.
역삼각함수 예시
- 직각삼각형에서 대변 = 3이고 빗변 = 5입니다. 각은 sin⁻¹(3/5) = sin⁻¹(0.6) ≈ 36.87°입니다.
- 직각삼각형에서 인접변 = 8이고 빗변 = 10입니다. 각은 cos⁻¹(8/10) = cos⁻¹(0.8) ≈ 36.87°입니다.
- 사다리가 벽을 따라 6피트 높이까지 닿고, 사다리 밑부분은 벽에서 4피트 떨어져 있습니다. 각은 tan⁻¹(6/4) = tan⁻¹(1.5) ≈ 56.31°입니다.