计算所有边和角：直角三角形计算
直角三角形计算结合了勾股定理和三角函数比，用于在已知少量测量值的情况下，找出直角三角形的所有未知边和角。这个过程——被称为“解三角形”——被用于测量、导航、建筑以及任何需要间接测量的地方。
直角三角形计算的组成部分
本节介绍完全求解直角三角形的策略：
- 已知两条边：使用勾股定理求出第三条边，然后使用反三角函数求出角度。
- 已知一条边和一个锐角：使用正弦、余弦或正切函数求出其他边，然后从 90° 中减去，求出另一个锐角。
- 特殊直角三角形：45-45-90 三角形（边长比例为 1:1:√2）和 30-60-90 三角形（边长比例为 1:√3:2）具有精确值。
- 应用：解决涉及高度、距离、仰角和俯角的实际问题。
直角三角形计算示例
已知两条边的示例
- 两条直角边分别为 5 和 12。斜边 = √(25 + 144) = √169 = 13。较小的角 = tan⁻¹(5/12) ≈ 22.6°，较大的角 = 90 - 22.6 = 67.4°。
- 斜边为 17，一条直角边为 8。另一条直角边 = √(289 - 64) = √225 = 15。与 8 边相对的角 = sin⁻¹(8/17) ≈ 28.1°。
- 两条直角边均为 7。斜边 = √(49 + 49) = √98 ≈ 9.90。两个锐角均为 45°（等腰直角三角形）。
已知一条边和一个角的示例
- 角度 = 35°，斜边 = 20。邻边 = 20 × cos(35°) ≈ 16.38。对边 = 20 × sin(35°) ≈ 11.47。另一个角 = 55°。
- 角度 = 50°，对边 = 10。斜边 = 10 / sin(50°) ≈ 13.05。邻边 = 10 / tan(50°) ≈ 8.39。另一个角 = 40°。
- 角度 = 60°，邻边 = 6。对边 = 6 × tan(60°) = 6√3 ≈ 10.39。斜边 = 6 / cos(60°) = 12。另一个角 = 30°。
特殊直角三角形示例
- 一个 45-45-90 三角形，直角边为 8：斜边 = 8√2 ≈ 11.31。
- 一个 30-60-90 三角形，最短边为 5：与 60° 角相对的边为 5√3 ≈ 8.66，斜边为 10。
- 一个对角线为 14 厘米的正方形：每条边为 14/√2 = 7√2 ≈ 9.90 厘米（正方形的对角线形成两个 45-45-90 三角形）。
应用示例
- 一个人站在距离建筑物 30 米处，向上看，仰角为 55°。建筑物高于视平面的高度为 30 × tan(55°) ≈ 42.84 米。
- 一架飞机在 5000 英尺高度飞行，发现跑道俯角为 12°。到跑道的地面距离为 5000 / tan(12°) ≈ 23,517 英尺。
- 一条 20 英尺长的坡道需要升高 4 英尺。倾斜角为 sin⁻¹(4/20) = sin⁻¹(0.2) ≈ 11.54°。