始终成立的等式：三角恒等式
三角恒等式是指包含三角函数的等式，对于所有有效的输入值都成立，而不仅仅是特定的角度。它们可以帮助你简化复杂的三角表达式、求解三角方程以及证明数学关系。掌握恒等式对于高级三角学、微积分和物理学至关重要。
三角恒等式的组成部分
本节涵盖最重要的恒等式类别：
- 毕达哥拉斯恒等式：sin²(θ) + cos²(θ) = 1，以及由此推导出的形式 1 + tan²(θ) = sec²(θ) 和 1 + cot²(θ) = csc²(θ)。
- 倒数恒等式：csc(θ) = 1/sin(θ)，sec(θ) = 1/cos(θ) 和 cot(θ) = 1/tan(θ)。
- 商恒等式：tan(θ) = sin(θ)/cos(θ) 和 cot(θ) = cos(θ)/sin(θ)。
- 余角恒等式：sin(90° - θ) = cos(θ)，cos(90° - θ) = sin(θ) 和 tan(90° - θ) = cot(θ)。
三角恒等式的示例
毕达哥拉斯恒等式示例
- 如果 sin(θ) = 3/5，求 cos(θ)：使用 sin²(θ) + cos²(θ) = 1，我们得到 9/25 + cos²(θ) = 1，因此 cos²(θ) = 16/25，cos(θ) = 4/5（在第一象限）。
- 简化 sin²(θ) + cos²(θ) + tan²(θ)：将 sin² + cos² 替换为 1，得到 1 + tan²(θ) = sec²(θ)。
- 验证 θ = 30°：sin²(30°) + cos²(30°) = (1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4 = 1 ✓。
倒数恒等式示例
- 如果 sin(θ) = 0.6，则 csc(θ) = 1/0.6 ≈ 1.667。
- 如果 cos(θ) = √2/2，则 sec(θ) = 1/(√2/2) = 2/√2 = √2。
- 如果 tan(θ) = 3/4，则 cot(θ) = 4/3。
商恒等式示例
- 如果 sin(θ) = 5/13 且 cos(θ) = 12/13，则 tan(θ) = sin(θ)/cos(θ) = (5/13)/(12/13) = 5/12。
- 简化 sin(θ)/cos(θ) × cos(θ)：这等于 sin(θ)，因为 cos(θ) 项相互抵消。
- 验证 θ = 45°：tan(45°) = sin(45°)/cos(45°) = (√2/2)/(√2/2) = 1 ✓。
余角恒等式示例
- sin(30°) = cos(60°) = 1/2。一个角的正弦值等于其补角的余弦值。
- cos(25°) = sin(65°)。由于 25° + 65° = 90°，因此它们是余角。
- 如果 tan(θ) = 2.5，则 cot(90° - θ) = 2.5，因为正切和余切是余角。