边和角：三角比计算
三角比——正弦、余弦和正切——将直角三角形的角与其边的比率联系起来。通过助记符 SOH CAH TOA 来记忆这些比率，这些比率可以用来计算直角三角形中未知的边或角，应用于导航、测量、建筑和物理学。
三角比计算的组成部分
本节介绍三个主要比率及其反函数：
- 正弦 (sin)：sin(θ) = 对边 / 斜边——角所对的边与最长边的比率。
- 余弦 (cos)：cos(θ) = 邻边 / 斜边——与角相邻的边与最长边的比率。
- 正切 (tan)：tan(θ) = 对边 / 邻边——对边与邻边的比率。
- 反三角函数：使用 sin⁻¹、cos⁻¹ 或 tan⁻¹ 来查找一个角，当你已知两条边的比率时。
三角比计算示例
正弦示例
- 在一个角为 30° 的直角三角形中，对边为 5，斜边为 10。验证：sin(30°) = 5/10 = 0.5 ✓。
- 当斜边为 20，角为 45° 时，求对边：对边 = 20 × sin(45°) = 20 × 0.7071 ≈ 14.14。
- 一条风筝线长 50 米，与地面的夹角为 60°。风筝的高度为 50 × sin(60°) = 50 × 0.866 ≈ 43.3 米。
余弦示例
- 在一个角为 60° 的直角三角形中，邻边为 4，斜边为 8。验证：cos(60°) = 4/8 = 0.5 ✓。
- 当斜边为 15，角为 30° 时，求邻边：邻边 = 15 × cos(30°) = 15 × 0.866 ≈ 12.99。
- 一条坡道长 12 英尺，倾斜角度为 20°。它覆盖的水平距离为 12 × cos(20°) ≈ 12 × 0.9397 ≈ 11.28 英尺。
正切示例
- 在一个角为 45° 的直角三角形中，对边和邻边都为 7。验证：tan(45°) = 7/7 = 1 ✓。
- 当邻边为 9，角为 53° 时，求对边：对边 = 9 × tan(53°) ≈ 9 × 1.3270 ≈ 11.94。
- 当太阳高度角为 40° 时，一棵树的影子长 15 米。树的高度为 15 × tan(40°) ≈ 15 × 0.8391 ≈ 12.59 米。
反三角函数示例
- 一个直角三角形的对边为 3，斜边为 5。该角为 sin⁻¹(3/5) = sin⁻¹(0.6) ≈ 36.87°。
- 一个直角三角形的邻边为 8，斜边为 10。该角为 cos⁻¹(8/10) = cos⁻¹(0.8) ≈ 36.87°。
- 一架梯子靠在墙上，高度为 6 英尺，底端距离墙 4 英尺。该角为 tan⁻¹(6/4) = tan⁻¹(1.5) ≈ 56.31°。