Potencias y raíces: potencias y raíces cuadradas
Las potencias ofrecen una forma abreviada de representar multiplicaciones repetidas, como escribir 5⁴ en lugar de 5 × 5 × 5 × 5, mientras que las raíces cuadradas invierten este proceso al preguntar: "¿qué número multiplicado por sí mismo da este valor?". Juntas, forman la base de la notación científica, los cálculos de área y volumen, y las ecuaciones algebraicas que los estudiantes encontrarán a continuación.
Componentes de potencias y raíces cuadradas
Esta sección abarca los conceptos clave:
- Comprensión de las potencias: la base es el número que se multiplica, y el exponente indica cuántas veces se debe multiplicar por sí mismo.
- Reglas de las potencias: regla del producto (aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ), regla de la potencia ((aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ) y exponente cero (a⁰ = 1).
- Raíces cuadradas: la raíz cuadrada de un número n es el valor que, al multiplicarse por sí mismo, es igual a n, y se escribe como √n.
- Cuadrados perfectos y estimación: reconocer los cuadrados perfectos (1, 4, 9, 16, 25, ...) y estimar las raíces cuadradas que no son perfectas.
Ejemplos de potencias y raíces cuadradas
Ejemplos de comprensión de las potencias
- Calcular 2⁵: multiplicar 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32.
- Calcular 10³: multiplicar 10 × 10 × 10 = 1000; cada potencia de 10 añade un cero.
- Una colonia de bacterias se duplica cada hora. Después de 6 horas, la cantidad es 2⁶ = 64 veces la cantidad original.
Ejemplos de reglas de las potencias
- Simplificar 3² × 3⁴: misma base, por lo que se suman los exponentes: 3²⁺⁴ = 3⁶ = 729.
- Simplificar (2³)²: multiplicar los exponentes: 2³ˣ² = 2⁶ = 64.
- Calcular 7⁰: cualquier número distinto de cero elevado a la potencia cero es igual a 1, por lo que 7⁰ = 1.
Ejemplos de raíces cuadradas
- √49 = 7 porque 7 × 7 = 49.
- √144 = 12 porque 12 × 12 = 144.
- Un jardín cuadrado tiene un área de 81 pies cuadrados. Cada lado mide √81 = 9 pies.
Ejemplos de cuadrados perfectos y estimación
- Los diez primeros cuadrados perfectos son 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 y 100.
- Estimar √50: dado que 7² = 49 y 8² = 64, √50 es ligeramente mayor que 7, aproximadamente 7,07.
- Estimar √20: dado que 4² = 16 y 5² = 25, √20 está entre 4 y 5, aproximadamente 4,47.