Puissances et racines : puissances et racines carrées
Les puissances permettent d’écrire de manière abrégée une multiplication répétée, en écrivant 5⁴ au lieu de 5 × 5 × 5 × 5, tandis que les racines carrées inversent ce processus en posant la question : « Quel nombre, multiplié par lui-même, donne cette valeur ? » Ensemble, ils constituent la base de la notation scientifique, des calculs d’aire et de volume, et des équations algébriques que les élèves rencontreront par la suite.
Composantes des puissances et des racines carrées
Cette section aborde les concepts clés :
- Comprendre les puissances : la base est le nombre qui est multiplié, et l’exposant indique combien de fois il doit être multiplié par lui-même.
- Règles des puissances : règle du produit (aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ), règle de la puissance ((aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ) et exposant zéro (a⁰ = 1).
- Racines carrées : la racine carrée d’un nombre n est la valeur qui, multipliée par elle-même, est égale à n, et qui s’écrit √n.
- Carrés parfaits et estimation : reconnaître les carrés parfaits (1, 4, 9, 16, 25, …) et estimer les racines carrées qui ne sont pas des carrés parfaits.
Exemples de puissances et de racines carrées
Exemples de compréhension des puissances
- Calculer 2⁵ : multiplier 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32.
- Calculer 10³ : multiplier 10 × 10 × 10 = 1 000 ; chaque puissance de 10 ajoute un zéro.
- Une colonie de bactéries double toutes les heures. Après 6 heures, le nombre est 2⁶ = 64 fois supérieur au nombre initial.
Exemples de règles des puissances
- Simplifier 3² × 3⁴ : même base, donc on additionne les exposants : 3²⁺⁴ = 3⁶ = 729.
- Simplifier (2³)² : multiplier les exposants : 2³ˣ² = 2⁶ = 64.
- Calculer 7⁰ : tout nombre non nul élevé à la puissance zéro est égal à 1, donc 7⁰ = 1.
Exemples de racines carrées
- √49 = 7 parce que 7 × 7 = 49.
- √144 = 12 parce que 12 × 12 = 144.
- Un jardin carré a une superficie de 81 pieds carrés. Chaque côté mesure √81 = 9 pieds.
Exemples de carrés parfaits et d’estimation
- Les dix premiers carrés parfaits sont 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 et 100.
- Estimer √50 : puisque 7² = 49 et 8² = 64, √50 est légèrement supérieur à 7, soit environ 7,07.
- Estimer √20 : puisque 4² = 16 et 5² = 25, √20 est compris entre 4 et 5, soit environ 4,47.