すべての辺と角度を求める：直角三角形の計算
直角三角形の計算では、ピタゴラスの定理と三角比を組み合わせて、与えられたいくつかの測定値から、直角三角形の未知のすべての辺と角度を求めます。このプロセスは「三角形を解く」と呼ばれ、測量、航行、建設、および間接的な測定が必要なあらゆる分野で使用されます。
直角三角形の計算の構成要素
このセクションでは、直角三角形を完全に解くための戦略について説明します。
- 2つの辺が与えられた場合: ピタゴラスの定理を使用して3番目の辺を求め、次に逆三角関数を使用して角度を求めます。
- 1つの辺と1つの鋭角が与えられた場合: 正弦、余弦、または正接を使用して他の辺を求め、90°から引いて他の鋭角を求めます。
- 特別な直角三角形: 45-45-90の三角形（辺の比は1:1:√2）、および30-60-90の三角形（辺の比は1:√3:2）には、正確な値があります。
- 応用: 高さ、距離、仰角、俯角を含む、現実世界の課題を解決します。
直角三角形の計算の例
2つの辺が与えられた場合の例
- 直角を挟む2辺が5と12の場合。斜辺 = √(25 + 144) = √169 = 13。小さい角度 = tan⁻¹(5/12) ≈ 22.6°、大きい角度 = 90 - 22.6 = 67.4°。
- 斜辺が17、直角を挟む1辺が8の場合。他の辺 = √(289 - 64) = √225 = 15。8の辺の反対側の角度 = sin⁻¹(8/17) ≈ 28.1°。
- 直角を挟む2辺が7と7の場合。斜辺 = √(49 + 49) = √98 ≈ 9.90。両方の鋭角は45°（二等辺直角三角形）。
1つの辺と1つの角度が与えられた場合の例
- 角度 = 35°、斜辺 = 20。隣接する辺 = 20 × cos(35°) ≈ 16.38。対辺 = 20 × sin(35°) ≈ 11.47。他の角度 = 55°。
- 角度 = 50°、対辺 = 10。斜辺 = 10 / sin(50°) ≈ 13.05。隣接する辺 = 10 / tan(50°) ≈ 8.39。他の角度 = 40°。
- 角度 = 60°、隣接する辺 = 6。対辺 = 6 × tan(60°) = 6√3 ≈ 10.39。斜辺 = 6 / cos(60°) = 12。他の角度 = 30°。
特別な直角三角形の例
- 直角を挟む2辺が8の45-45-90の三角形：斜辺 = 8√2 ≈ 11.31。
- 最も短い辺が5の30-60-90の三角形：60°の反対側の辺は5√3 ≈ 8.66、斜辺は10。
- 対角線が14cmの正方形：各辺は14/√2 = 7√2 ≈ 9.90 cm（正方形の対角線は、2つの45-45-90の三角形を作成します）。
応用の例
- ある人が、高さ30メートルの建物から55°の角度で上を見ている。建物の上端までの高さは、30 × tan(55°) ≈ 42.84メートル。
- 5,000フィートの高度を飛行しているパイロットが、12°の俯角で滑走路を発見した。滑走路までの距離は、5,000 / tan(12°) ≈ 23,517フィート。
- 20フィートの傾斜路が4フィート上昇する必要がある。傾斜角は、sin⁻¹(4/20) = sin⁻¹(0.2) ≈ 11.54°。