辺と角度：三角比の計算
三角比（サイン、コサイン、タンジェント）は、直角三角形の角度と、その辺の比率を結びつけます。覚えやすい語呂合わせ「SOH CAH TOA」で覚えられるこれらの比率を使うと、直角三角形において、未知の辺または角度を計算できます。航海、測量、建築、物理学など、さまざまな分野で応用されます。
三角比の計算における要素
このセクションでは、主要な3つの比率とその逆数について説明します。
- サイン（sin）: sin(θ) = 対辺 / 斜辺 — 角度の対辺と最も長い辺の比。
- コサイン（cos）: cos(θ) = 隣辺 / 斜辺 — 角度の隣辺と最も長い辺の比。
- タンジェント（tan）: tan(θ) = 対辺 / 隣辺 — 対辺と隣辺の比。
- 逆三角関数: 2つの辺の比がわかっている場合に、角度を求めるには、sin⁻¹、cos⁻¹、またはtan⁻¹を使用します。
三角比の計算例
サインの例
- 角度が30°の直角三角形において、対辺が5、斜辺が10の場合。確認：sin(30°) = 5/10 = 0.5 ✓。
- 斜辺が20、角度が45°の場合の対辺を求める：対辺 = 20 × sin(45°) = 20 × 0.7071 ≈ 14.14。
- 凧の糸が地面に対して60°の角度で、長さが50メートル。凧の高さは、50 × sin(60°) = 50 × 0.866 ≈ 43.3メートル。
コサインの例
- 角度が60°の直角三角形において、隣辺が4、斜辺が8の場合。確認：cos(60°) = 4/8 = 0.5 ✓。
- 斜辺が15、角度が30°の場合の隣辺を求める：隣辺 = 15 × cos(30°) = 15 × 0.866 ≈ 12.99。
- 傾斜角が20°の傾斜路の長さが12フィート。水平方向の距離は、12 × cos(20°) ≈ 12 × 0.9397 ≈ 11.28フィート。
タンジェントの例
- 角度が45°の直角三角形において、対辺と隣辺がどちらも7の場合。確認：tan(45°) = 7/7 = 1 ✓。
- 隣辺が9、角度が53°の場合の対辺を求める：対辺 = 9 × tan(53°) ≈ 9 × 1.3270 ≈ 11.94。
- 木が、太陽の仰角が40°のときに、15メートルの影を落とす。木の高さは、15 × tan(40°) ≈ 15 × 0.8391 ≈ 12.59メートル。
逆三角関数の例
- 直角三角形において、対辺 = 3、斜辺 = 5の場合。角度は、sin⁻¹(3/5) = sin⁻¹(0.6) ≈ 36.87°。
- 直角三角形において、隣辺 = 8、斜辺 = 10の場合。角度は、cos⁻¹(8/10) = cos⁻¹(0.8) ≈ 36.87°。
- 梯子が壁に6フィートまで届き、その底が壁から4フィート離れている。角度は、tan⁻¹(6/4) = tan⁻¹(1.5) ≈ 56.31°。